T5: Física moderna · Hipótesis de De Broglie — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T5: Física moderna

Hipótesis de De Broglie

Teoría

2024 · Ordinaria · Titular

2D-a

a) Dos partículas tienen la misma energía cinética. Deduzca de manera razonada la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie si la masa de la primera es un tercio de la masa de la segunda.

Dualidad onda-corpúsculoEnergía cinéticaRelación de masas

De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula de masa $m$ que se desplaza con una velocidad $v$ (y por tanto tiene un momento lineal $p$ ) tiene asociada una onda cuya longitud de onda $\lambda$ viene dada por:

\lambda = \frac{h}{p}

donde $h$ es la constante de Planck. Para relacionar esta magnitud con la energía cinética $E_c$ , utilizamos la expresión clásica de la misma:

E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{(mv)^2}{2m} = \frac{p^2}{2m}

Despejamos el momento lineal $p$ en función de la energía cinética:

p = \sqrt{2 m E_c}

Sustituyendo esta expresión en la fórmula de la longitud de onda de De Broglie, obtenemos $\lambda$ en función de la masa y la energía cinética:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_c}}

El enunciado establece que ambas partículas tienen la misma energía cinética ( $E_{c1} = E_{c2} = E_c$ ) y que la masa de la primera es un tercio de la masa de la segunda ( $m_1 = \frac{1}{3} m_2$ ). Establecemos la relación entre sus longitudes de onda:

\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2 m_1 E_c}}}{\frac{h}{\sqrt{2 m_2 E_c}}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}

Sustituimos la relación de masas $m_1 = \frac{1}{3} m_2$ en la ecuación anterior:

\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{\frac{1}{3} m_2}} = \sqrt{3}

Por lo tanto, la relación entre las longitudes de onda de De Broglie de ambas partículas es:

\lambda_1 = \sqrt{3} \cdot \lambda_2