T3: Vibraciones y ondas · Ondas mecánicas — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ondas mecánicas

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

C2-b

b) Considere un oleaje que se propaga en el sentido positivo del eje

OX

. Una boya, situada en

x = 10 \text{ m}

, describe una oscilación armónica vertical con una amplitud de

0,4 \text{ m}

y un periodo de

2 \text{ segundos}

. La velocidad de propagación de las olas en la superficie del mar es de

0,5 \text{ m/s}

. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de las olas; ii) la ecuación de onda, asumiendo que, en el instante inicial

t = 0 \text{ s}

, la altura de la boya es máxima; iii) la velocidad máxima de oscilación de la boya.

Ecuación de ondaFrecuenciaVelocidad de propagación

i) La longitud de onda

\lambda

representa la distancia que recorre la perturbación en un periodo completo

T

. Su valor se obtiene a partir de la velocidad de propagación

v

v = \frac{\lambda}{T} \implies \lambda = v \cdot T

Sustituyendo los valores proporcionados en el enunciado ( $v = 0,5 \text{ m/s}$ y $T = 2 \text{ s}$ ):

\lambda = 0,5 \text{ m/s} \cdot 2 \text{ s} = 1 \text{ m}

ii) La ecuación de una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje

OX

se expresa de forma general como:

y(x, t) = A \cos(k x - \omega t + \phi_0)

Primero, calculamos la frecuencia angular (o pulsación) $\omega$ y el número de onda $k$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad/s}

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ m}^{-1}

Para determinar la fase inicial $\phi_0$ , aplicamos la condición dada para la boya situada en $x = 10 \text{ m}$ en el instante $t = 0 \text{ s}$ , momento en el que su elongación es máxima ( $y = A = 0,4 \text{ m}$ ):

0,4 = 0,4 \cos(2\pi \cdot 10 - \pi \cdot 0 + \phi_0) \implies 1 = \cos(20\pi + \phi_0)

Dado que el coseno es igual a $1$ cuando su argumento es un múltiplo entero de $2\pi$ , y puesto que $20\pi$ ya lo es, podemos establecer que $\phi_0 = 0$ . Así, la ecuación de onda queda definida como:

y(x, t) = 0,4 \cos(2\pi x - \pi t) \text{ (m)}

iii) La velocidad de oscilación de la boya es la derivada temporal de su posición vertical:

v_{osc}(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = -0,4 \cdot (-\pi) \sin(2\pi x - \pi t) = 0,4\pi \sin(2\pi x - \pi t)

La velocidad máxima de oscilación $v_{max}$ se alcanza cuando el término del seno es igual a la unidad:

v_{max} = A \cdot \omega = 0,4 \text{ m} \cdot \pi \text{ rad/s} = 0,4\pi \text{ m/s}

Realizando el cálculo numérico:

v_{max} \approx 1,26 \text{ m/s}