T5: Física moderna · Mecánica cuántica — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T5: Física moderna

Mecánica cuántica

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

D-b2

Un microscopio electrónico utiliza electrones acelerados desde el reposo aplicando una diferencia de potencial de $5 \text{ kV}$ . Determine razonadamente:

i) su resolución, suponiendo que es igual a la longitud de onda de De Broglie de los electrones;ii) la velocidad que deberían tener los electrones si se desea que la longitud de onda asociada sea

1,25 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Datos: $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ; $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Hipótesis de De BroglieDualidad onda-corpúsculoResolución de microscopio

i) Determine su resolución, suponiendo que es igual a la longitud de onda de De Broglie de los electrones.

Para calcular la resolución, debemos determinar la longitud de onda de De Broglie $\lambda$ asociada a los electrones. El primer paso es encontrar la energía cinética que adquieren los electrones al ser acelerados desde el reposo por una diferencia de potencial $V = 5000 \text{ V}$ . Basándonos en el principio de conservación de la energía, el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte en energía cinética:

E_c = W \Rightarrow \frac{1}{2} m_e v^2 = e \cdot V

A partir de la relación entre energía cinética y momento lineal $p = m_e v$ , podemos expresar el momento en función del potencial de aceleración:

p = \sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot V}

Sustituyendo esta expresión en la hipótesis de De Broglie $\lambda = \frac{h}{p}$ , obtenemos la fórmula para la longitud de onda asociada:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot V}}

Sustituimos los valores numéricos del enunciado en unidades del Sistema Internacional ( $V = 5 \cdot 10^3 \text{ V}$ ):

\lambda = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 5000 \text{ V}}}

\lambda \approx 1,74 \cdot 10^{-11} \text{ m}

ii) La velocidad que deberían tener los electrones si se desea que la longitud de onda asociada sea

1,25 \cdot 10^{-11} \text{ m}

Para encontrar la velocidad necesaria partimos nuevamente de la relación de De Broglie $\lambda = \frac{h}{m_e v}$ y despejamos la velocidad $v$ :

v = \frac{h}{m_e \cdot \lambda}

Sustituyendo el valor de la longitud de onda deseada:

v = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,25 \cdot 10^{-11} \text{ m}}

v \approx 5,83 \cdot 10^7 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}