T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B-b2

Dos cargas puntuales de $+10^{-6} \text{ C}$ y $-10^{-6} \text{ C}$ se encuentran colocadas en las posiciones A (0,-4) m y B (0,4) m, respectivamente. i) Calcule el potencial en las posiciones C (6,0) m y D (0,8) m. ii) Determine el trabajo realizado por el campo al trasladar una carga de $+4 \cdot 10^{-4} \text{ C}$ desde el punto C al D. Interprete el signo del trabajo. Justifique todas sus respuestas. Datos: $K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N m}^{2} \text{ C}^{-2}$

Potencial eléctricoTrabajo eléctricoCargas puntuales

Situamos las cargas puntuales en el plano cartesiano. La carga positiva se encuentra en el punto A(0, -4) y la negativa en el punto B(0, 4). Representamos los puntos C(6, 0) y D(0, 8) donde calcularemos el potencial.

i) El potencial eléctrico en un punto creado por varias cargas es la suma escalar de los potenciales individuales (principio de superposición). La expresión para el potencial de una carga puntual es:

V = K \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i}

Para el punto C(6, 0), calculamos las distancias r desde cada carga:

r_{AC} = \sqrt{(6-0)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \text{ m} \\ r_{BC} = \sqrt{(6-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} \text{ m}

Sustituimos en la fórmula del potencial en C:

V_C = 9 \cdot 10^9 \cdot \left( \frac{10^{-6}}{\sqrt{52}} + \frac{-10^{-6}}{\sqrt{52}} \right) = 0 \text{ V}

Para el punto D(0, 8), las distancias sobre el eje Y son:

r_{AD} = |8 - (-4)| = 12 \text{ m} \\ r_{BD} = |8 - 4| = 4 \text{ m}

Calculamos el potencial en D:

V_D = 9 \cdot 10^9 \cdot \left( \frac{10^{-6}}{12} + \frac{-10^{-6}}{4} \right) = 9 \cdot 10^3 \cdot \left( \frac{1}{12} - \frac{3}{12} \right) = 9 \cdot 10^3 \cdot \left( -\frac{2}{12} \right) = -1500 \text{ V}

ii) El trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar una carga q desde C hasta D es la variación negativa de la energía potencial, lo que equivale al producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final:

W_{C \to D} = q \cdot (V_C - V_D)

Sustituimos los valores de la carga trasladada q y los potenciales calculados:

W_{C \to D} = 4 \cdot 10^{-4} \text{ C} \cdot (0 \text{ V} - (-1500 \text{ V})) = 4 \cdot 10^{-4} \cdot 1500 \text{ J} = 0.6 \text{ J}

El trabajo resultante es positivo, lo que indica que el campo eléctrico realiza el trabajo de manera espontánea. Al ser la carga positiva, esta tiende a moverse hacia regiones de menor potencial (de 0 V a -1500 V), disminuyendo la energía potencial del sistema.

\mathbf{W_{C \to D} = 0.6 \text{ J}}