T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2025 · Ordinaria · Titular

A-a

Considere dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. Razone la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) el campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas; ii) el potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

Punto medioNulidad de campoPotencial infinito

Análisis del campo y potencial gravitatorio de dos masas puntuales

i) El campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas.

La afirmación es verdadera. El campo gravitatorio creado por una masa puntual es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión:

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

En un sistema de dos masas iguales $M_1 = M_2 = M$ , el campo total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos creados por cada masa según el principio de superposición $\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2$ . En el punto medio de la línea que las une, las distancias a ambas masas son iguales ( $r_1 = r_2$ ), por lo que los módulos de los campos son idénticos:

|\vec{g}_1| = G \frac{M}{(d/2)^2} = |\vec{g}_2|

Sin embargo, los vectores tienen sentidos opuestos (cada uno apunta hacia su respectiva masa), por lo que se anulan mutuamente. En cualquier otro punto fuera del punto medio, o bien las distancias no son iguales (y por tanto los módulos difieren) o bien los vectores no son colineales y opuestos, por lo que la suma vectorial no puede ser cero. Aunque el campo también tiende a cero a distancia infinita, en el espacio finito, el punto medio es el único donde se anula.

ii) El potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

La afirmación es verdadera. El potencial gravitatorio $V$ creado por una masa puntual es una magnitud escalar que, por convenio (situando el origen de potenciales en el infinito), es siempre negativa:

V = -G \frac{M}{r}

Para un sistema de dos masas, el potencial total es la suma algebraica de los potenciales individuales:

V_{total} = V_1 + V_2 = -G \frac{M}{r_1} - G \frac{M}{r_2} = -GM \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)

Dado que $G$ , $M$ , $r_1$ y $r_2$ son siempre magnitudes positivas, la expresión entre paréntesis siempre será positiva y distinta de cero para cualquier distancia finita. El potencial total es una suma de términos negativos, por lo que nunca podrá ser cero a menos que ambos términos tiendan a cero, lo cual solo ocurre cuando las distancias $r_1$ y $r_2$ tienden a infinito.