T3: Vibraciones y ondas · Ondas mecánicas — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T3: Vibraciones y ondas

Ondas mecánicas

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

C-b1

Por una cuerda tensa, se propaga en el sentido negativo del eje OX una onda armónica transversal de 0,1 m de amplitud, 5 Hz de frecuencia y una velocidad de propagación de $0,5 \text{ m s}^{-1}$ . Determine razonadamente: i) la ecuación de la onda, sabiendo que para t = 0 s y x = 0 m se encuentra en la posición más alta de su oscilación; ii) la diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm para un mismo instante; iii) la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que se encuentren en oposición de fase en un mismo instante.

Ecuación de ondaDiferencia de faseOposición de fase

Para determinar la ecuación de la onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje OX, utilizamos la expresión general de la elongación en función de la posición y el tiempo:

y(x, t) = A \cos(kx + \omega t + \phi_0)

A partir de los datos proporcionados, identificamos la amplitud y calculamos la frecuencia angular y el número de onda. La amplitud es:

A = 0,1 \text{ m}

La frecuencia angular se obtiene a partir de la frecuencia dada:

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 \text{ Hz} = 10\pi \text{ rad s}^{-1}

El número de onda se calcula utilizando la velocidad de propagación:

k = \frac{\omega}{v} = \frac{10\pi \text{ rad s}^{-1}}{0,5 \text{ m s}^{-1}} = 20\pi \text{ rad m}^{-1}

Para hallar la fase inicial, aplicamos la condición de que en el instante inicial y en el origen la onda se encuentra en su punto máximo:

y(0, 0) = A \implies A \cos(\phi_0) = A \implies \cos(\phi_0) = 1 \implies \phi_0 = 0 \text{ rad}

Sustituyendo todos los valores, la ecuación de la onda es:

\mathbf{y(x, t) = 0,1 \cos(20\pi x + 10\pi t) \text{ m}}

ii) La diferencia de fase entre dos puntos en un mismo instante de tiempo depende únicamente de la distancia entre ellos y del número de onda:

\Delta \phi = |(k x_2 + \omega t + \phi_0) - (k x_1 + \omega t + \phi_0)| = k \Delta x

Convertimos la distancia a unidades del Sistema Internacional y calculamos:

\Delta x = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}

\Delta \phi = 20\pi \text{ rad m}^{-1} \cdot 0,1 \text{ m} = \mathbf{2\pi \text{ rad}}

iii) Dos puntos se encuentran en oposición de fase cuando su diferencia de fase es un múltiplo impar de pi. La distancia mínima ocurre para una diferencia de fase de pi radianes:

\Delta \phi = k \Delta x = \pi \text{ rad}

Despejamos la distancia mínima:

\Delta x = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi \text{ rad}}{20\pi \text{ rad m}^{-1}} = 0,05 \text{ m}

Este valor también equivale a la mitad de la longitud de onda. El resultado final es:

\mathbf{\Delta x = 0,05 \text{ m} = 5 \text{ cm}}