T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

A2-b

b) Dos masas de

5 \text{ kg}

se encuentran en los puntos

A(0,2)

B(2,0) \text{ m}

. Determine razonadamente: i) el valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto

C(0,0) \text{ m}

; ii) el potencial gravitatorio en el mismo punto; iii) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de

3 \text{ kg}

desde

C

hasta el punto

D(2,2) \text{ m}

. Justifique el resultado obtenido.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Intensidad de campoPotencial gravitatorioTrabajo

i) Para calcular la intensidad del campo gravitatorio en el punto

C(0,0)

, aplicamos el principio de superposición, sumando vectorialmente los campos creados por las masas en

A

B

. La expresión general del campo es:

\vec{g} = \sum G \frac{m_i}{r_i^2} \vec{u}_i

Calculamos los vectores unitarios desde $C$ hacia las masas (ya que el campo gravitatorio es atractivo):

\vec{u}_A = \frac{(0,2) - (0,0)}{2} = \vec{j} \quad ; \quad \vec{u}_B = \frac{(2,0) - (0,0)}{2} = \vec{i}

Calculamos el campo producido por cada masa en el origen $C$ :

\vec{g}_A = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{2^2} \vec{j} = 8,3375 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

\vec{g}_B = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{2^2} \vec{i} = 8,3375 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

La intensidad del campo total en $C$ es:

\vec{g}_C = (8,34 \cdot 10^{-11} \vec{i} + 8,34 \cdot 10^{-11} \vec{j}) \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales individuales:

V = \sum -G \frac{m_i}{r_i}

Sustituyendo los valores para el punto $C$ :

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5 = -3,335 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) se define como la variación negativa de la energía potencial:

W_{C \to D} = - \Delta E_p = -(E_{p,D} - E_{p,C}) = m (V_C - V_D)

Primero, calculamos las distancias del punto $D(2,2)$ a las masas en $A(0,2)$ y $B(2,0)$ :

r_{AD} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-2)^2} = 2 \text{ m} \quad ; \quad r_{BD} = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2} = 2 \text{ m}

Calculamos el potencial en $D$ :

V_D = -G \left( \frac{m_A}{r_{AD}} + \frac{m_B}{r_{BD}} \right) = -G \left( \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \right) = -3,335 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Como el potencial en el punto inicial $C$ y el punto final $D$ es el mismo ( $V_C = V_D$ ), el trabajo realizado por el campo es nulo:

W_{C \to D} = 3 \text{ kg} \cdot (-3,335 \cdot 10^{-10} - (-3,335 \cdot 10^{-10})) = 0 \text{ J}

Justificación: Al ser el campo gravitatorio un campo conservativo, el trabajo no depende del camino seguido, sino solo de los puntos inicial y final. Al encontrarse $C$ y $D$ a la misma distancia de la distribución de masas, son puntos equipotenciales y el trabajo neto realizado por el campo es cero.