T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

A2-b

b) Un satélite de masa

200 \text{ kg}

describe una órbita circular a una altura de

2 \cdot 10^{4} \text{ km}

sobre la superficie de un planeta de

6000 \text{ km}

de radio. El periodo orbital del mismo es de

1 \text{ día}

terrestre. Determine: i) la masa del planeta; ii) la diferencia entre las energías cinéticas en dicha órbita y en otra a la mitad de altura.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}$

órbita circularmasa planetariaenergía cinética

i) Para determinar la masa del planeta, partimos de la condición de equilibrio para una órbita circular, donde la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Primero, calculamos el radio de la órbita

r_1

y convertimos el periodo

T

a segundos:

r_1 = R_p + h_1 = 6000 \text{ km} + 20000 \text{ km} = 26000 \text{ km} = 2,6 \cdot 10^7 \text{ m}

T = 1 \text{ día} = 24 \cdot 3600 \text{ s} = 86400 \text{ s}

Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, obtenemos la relación de la tercera ley de Kepler para despejar la masa del planeta $M$ :

G \frac{M m}{r_1^2} = m \frac{v^2}{r_1} = m \frac{4\pi^2 r_1}{T^2} \implies M = \frac{4\pi^2 r_1^3}{G T^2}

M = \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot (2,6 \cdot 10^7 \text{ m})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot (86400 \text{ s})^2} \approx 1,39 \cdot 10^{24} \text{ kg}

ii) La energía cinética de un satélite en órbita circular viene dada por la expresión

E_k = \frac{1}{2} G \frac{M m}{r}

. Se nos pide la diferencia entre la energía cinética en la órbita original (

r_1

) y una nueva órbita a la mitad de altura (

h_2 = h_1 / 2

h_2 = \frac{2 \cdot 10^4 \text{ km}}{2} = 10000 \text{ km} \implies r_2 = R_p + h_2 = 6000 \text{ km} + 10000 \text{ km} = 1,6 \cdot 10^7 \text{ m}

La diferencia de energías cinéticas $\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$ se calcula como:

\Delta E_k = \frac{1}{2} G M m \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)

\Delta E_k = \frac{1}{2} \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,39 \cdot 10^{24} \cdot 200 \cdot \left( \frac{1}{1,6 \cdot 10^7} - \frac{1}{2,6 \cdot 10^7} \right)

\Delta E_k \approx 9,27 \cdot 10^{15} \cdot (6,25 \cdot 10^{-8} - 3,85 \cdot 10^{-8}) \text{ J} \approx 2,22 \cdot 10^8 \text{ J}