T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

B1-b

b) Dos cargas positivas de valor

2 \cdot 10^{-6} \text{ C}

se encuentran en los puntos

A(-2,0)

B(2,0) \text{ m}

. i) Determine el vector campo eléctrico en el punto

C(0,3) \text{ m}

. ii) Calcule el trabajo que realiza el campo eléctrico cuando una tercera carga de valor

-3 \cdot 10^{-6} \text{ C}

se traslada del punto

C

al origen de coordenadas.

Dato: $K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Cargas puntualesVector campo eléctricoTrabajo eléctrico

Resolución del ejercicio de Campo Eléctrico

i) Determine el vector campo eléctrico en el punto

C(0,3) \text{ m}

Para determinar el campo eléctrico en el punto $C$ , aplicamos el principio de superposición: $\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$ . Debido a la simetría de la configuración, las componentes horizontales del campo generado por ambas cargas se anularán entre sí, mientras que las componentes verticales se sumarán.Primero, calculamos la distancia $r$ desde cada carga al punto $C$ y el valor de los vectores unitarios:

r = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \text{ m}

\vec{u}_{r1} = \frac{(0 - (-2))\vec{i} + (3 - 0)\vec{j}}{\sqrt{13}} = \frac{2\vec{i} + 3\vec{j}}{\sqrt{13}}

\vec{u}_{r2} = \frac{(0 - 2)\vec{i} + (3 - 0)\vec{j}}{\sqrt{13}} = \frac{-2\vec{i} + 3\vec{j}}{\sqrt{13}}

El campo eléctrico total es la suma de los campos individuales:

\vec{E}_C = K \frac{q_1}{r^2} \vec{u}_{r1} + K \frac{q_2}{r^2} \vec{u}_{r2}

\vec{E}_C = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{13})^2} \left( \frac{2\vec{i} + 3\vec{j}}{\sqrt{13}} + \frac{-2\vec{i} + 3\vec{j}}{\sqrt{13}} \right)

\vec{E}_C = \frac{18 \cdot 10^3}{13} \left( \frac{6\vec{j}}{\sqrt{13}} \right) = \frac{108 \cdot 10^3}{13\sqrt{13}} \vec{j} \approx 2304.14 \vec{j} \text{ N/C}

ii) Calcule el trabajo que realiza el campo eléctrico cuando una tercera carga de valor

-3 \cdot 10^{-6} \text{ C}

se traslada del punto

C

al origen de coordenadas.

El trabajo realizado por el campo eléctrico, que es una fuerza conservativa, se calcula como la diferencia de energía potencial o el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial y el final:

W_{C \to O} = q_3 (V_C - V_O)

Calculamos el potencial en el punto $C$ (inicial) y en el punto $O$ (final), sumando los potenciales de cada carga:

V_C = K \frac{q_1}{r_{1C}} + K \frac{q_2}{r_{2C}} = 2 \left( 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{13}} \right) = \frac{36 \cdot 10^3}{\sqrt{13}} \approx 9984.47 \text{ V}

V_O = K \frac{q_1}{r_{1O}} + K \frac{q_2}{r_{2O}} = 2 \left( 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{2} \right) = 18 \cdot 10^3 \text{ V}

Sustituimos en la fórmula del trabajo:

W_{C \to O} = (-3 \cdot 10^{-6} \text{ C}) (9984.47 \text{ V} - 18000 \text{ V})

W_{C \to O} = (-3 \cdot 10^{-6}) (-8015.53) = 0.02405 \text{ J}

El trabajo es positivo ( $0.02405 \text{ J}$ ), lo que indica que el campo eléctrico realiza el trabajo de forma espontánea al atraer la carga negativa hacia las cargas positivas.