T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ecuación de onda

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

1C-b

b) En una cuerda se propaga una onda armónica cuya ecuación viene dada por:

y(x,t) = 0,2 \cdot \cos(0,2\pi x + 0,25\pi t + \pi)

(S.I.). Calcule razonadamente: i) la frecuencia y la longitud de onda; ii) la velocidad de propagación de la onda, especificando su dirección y sentido de propagación; iii) la velocidad máxima de oscilación de la onda.

Longitud de ondaVelocidad de propagaciónVelocidad de oscilación

Para resolver el ejercicio, comparamos la ecuación dada con la expresión general de una onda armónica que se propaga en una cuerda:

y(x,t) = A \cos(kx + \omega t + \phi_0)

De la ecuación proporcionada $y(x,t) = 0,2 \cdot \cos(0,2\pi x + 0,25\pi t + \pi)$ , identificamos los siguientes parámetros en unidades del S.I.:

A = 0,2 \text{ m}; \quad k = 0,2\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}; \quad \omega = 0,25\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

i) Calcule la frecuencia y la longitud de onda:

La longitud de onda ( $\lambda$ ) se relaciona con el número de onda ( $k$ ) mediante la expresión:

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0,2\pi} = 10 \text{ m}

La frecuencia ( $f$ ) se obtiene a partir de la frecuencia angular ( $\omega$ ):

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{0,25\pi}{2\pi} = 0,125 \text{ Hz}

ii) Calcule la velocidad de propagación de la onda, especificando su dirección y sentido de propagación:

La velocidad de propagación ( $v$ ) es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

v = \frac{\omega}{k} = \frac{0,25\pi}{0,2\pi} = 1,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Dirección y sentido: Al ser una función de $x$ , la onda se propaga a lo largo del eje X. Dado que los términos $kx$ y $\omega t$ tienen el mismo signo dentro del argumento del coseno, la onda se propaga en el sentido negativo del eje X (hacia la izquierda).

iii) Calcule la velocidad máxima de oscilación de la onda:

La velocidad de oscilación transversal ( $v_y$ ) se obtiene derivando la posición respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \sin(kx + \omega t + \phi_0)

El valor máximo de esta velocidad se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$ , por lo tanto:

v_{max} = A \cdot \omega = 0,2 \text{ m} \cdot 0,25\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1} = 0,05\pi \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 0,157 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}