T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

B-b1

Un electrón, que parte del reposo, es acelerado mediante una diferencia de potencial y penetra con una velocidad $\vec{v} = 3 \cdot 10^{5} \vec{i} \text{ m/s}$ en el seno de un campo magnético uniforme de valor $\vec{B} = 0,2 \vec{j} \text{ T}$ . Determine razonadamente:

i) la trayectoria seguida por el electrón, ayudándose de un esquema;ii) el valor del radio y el periodo de la órbita que describe el electrón;iii) la diferencia de potencial necesaria para que el electrón adquiera la velocidad indicada.

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$

Fuerza de LorentzRadio de curvaturaPeriodo orbital+1

i) La trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético viene determinada por la fuerza de Lorentz. La expresión vectorial de esta fuerza es

\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})

. Para un electrón, la carga es

q = -e

. Sustituyendo los vectores dados

\vec{v} = 3 \cdot 10^5 \vec{i} \text{ m/s}

\vec{B} = 0,2 \vec{j} \text{ T}

\vec{F} = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot [(3 \cdot 10^5 \vec{i} \text{ m/s}) \times (0,2 \vec{j} \text{ T})] = -9,6 \cdot 10^{-15} \vec{k} \text{ N}

Dado que la fuerza es perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético, y su módulo es constante, el electrón describe un movimiento circular uniforme (MCU). La trayectoria es una circunferencia situada en el plano $XZ$ , ya que la fuerza inicial apunta en la dirección $-\vec{k}$ .

ii) Para calcular el radio

R

de la órbita, igualamos el módulo de la fuerza magnética con la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular:

|q| v B = m \frac{v^2}{R} \implies R = \frac{m v}{e B}

Sustituimos los valores de la masa del electrón ( $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}$ ), velocidad y campo:

R = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 3 \cdot 10^5 \text{ m/s}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0,2 \text{ T}} = 8,53 \cdot 10^{-6} \text{ m}

El periodo $T$ es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta completa, definido por $T = \frac{2 \pi R}{v}$ :

T = \frac{2 \pi \cdot 8,53 \cdot 10^{-6} \text{ m}}{3 \cdot 10^5 \text{ m/s}} = 1,79 \cdot 10^{-10} \text{ s}

iii) La diferencia de potencial

V

necesaria para acelerar el electrón se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía. El trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética:

W = \Delta E_c \implies e V = \frac{1}{2} m v^2

Despejamos el potencial $V$ :

V = \frac{m v^2}{2 e} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^5 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}}

V = \frac{8,19 \cdot 10^{-20} \text{ J}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}} = 0,256 \text{ V}