T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

B1-b

b) Una bobina plana formada por

100

espiras circulares de

0,2 \text{ m}

de radio, con su eje inicialmente orientado en el eje

OZ

, gira en torno a uno de sus diámetros con una frecuencia de

50 \text{ Hz}

dentro de un campo magnético uniforme

\vec{B} = 0,1 \vec{k} \text{ T}

. Determine razonadamente: i) el flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo; ii) la fuerza electromotriz inducida máxima.

Flujo magnéticoFuerza electromotriz

i) Determinación del flujo magnético que atraviesa la bobina en función del tiempo.

El flujo magnético $\Phi$ que atraviesa una bobina de $N$ espiras en un campo magnético uniforme $\vec{B}$ se define como el producto escalar del vector campo por el vector superficie $\vec{S}$ . Dado que la bobina gira con una frecuencia $f$ , su velocidad angular $\omega$ es constante y el ángulo $\theta$ entre el campo y el eje de la bobina varía con el tiempo.

S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot (0,2 \text{ m})^2 = 0,04\pi \text{ m}^2

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \text{ Hz} = 100\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

Considerando que en $t = 0$ s el eje de la bobina está orientado según el eje $OZ$ (paralelo a $\vec{B}$ ), el ángulo es $\theta(t) = \omega t$ . La expresión del flujo es:

\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)

Sustituyendo los valores conocidos:

\Phi(t) = 100 \cdot 0,1 \text{ T} \cdot 0,04\pi \text{ m}^2 \cdot \cos(100\pi t) = 0,4\pi \cos(100\pi t) \text{ Wb}

ii) Cálculo de la fuerza electromotriz inducida máxima.

Según la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida $\varepsilon$ es la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt} [NBS \cos(\omega t)] = NBS\omega \sin(\omega t)

La fuerza electromotriz máxima $\varepsilon_{\text{max}}$ se obtiene cuando el término senoidal toma su valor máximo igual a 1:

\varepsilon_{\text{max}} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega

Utilizando los valores calculados en el apartado anterior:

\varepsilon_{\text{max}} = 0,4\pi \text{ Wb} \cdot 100\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1} = 40\pi^2 \text{ V} \approx 394,78 \text{ V}