T1: Interacción gravitatoria

Potencial gravitatorio y trabajo

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-b1

Dos masas puntuales de $300 \text{ kg}$ y $400 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(0,4) \text{ m}$ y $B(3,0) \text{ m}$ , respectivamente. Calcule razonadamente:

i) El potencial gravitatorio en el punto

C(3,4) \text{ m}

, apoyándose de un esquema.ii) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una tercera masa de

1,2 \text{ kg}

desde el origen de coordenadas al punto

C

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesPotencial gravitatorioTrabajo gravitatorio

i) El potencial gravitatorio en un punto creado por un sistema de masas puntuales es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales individuales creados por cada masa en dicho punto. La expresión general es

V = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

Calculamos primero las distancias desde las masas $m_1$ (en $A$ ) y $m_2$ (en $B$ ) hasta el punto $C(3,4)$ :

r_{AC} = \sqrt{(3-0)^2 + (4-4)^2} = 3 \text{ m}

r_{BC} = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = 4 \text{ m}

Sustituimos en la fórmula del potencial gravitatorio en $C$ :

V_C = -G \left( \frac{m_1}{r_{AC}} + \frac{m_2}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot \left( \frac{300 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{4 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (100 + 100) = -1,334 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) para desplazar una masa

m

desde un punto inicial hasta un punto final es igual a la diferencia de energía potencial entre dichos puntos, o bien, el producto de la masa por la diferencia de potencial:

W = -\Delta E_p = m(V_{inicial} - V_{final})

Calculamos el potencial en el origen $O(0,0)$ , donde las distancias son $r_{AO} = 4 \text{ m}$ y $r_{BO} = 3 \text{ m}$ :

V_O = -G \left( \frac{m_1}{r_{AO}} + \frac{m_2}{r_{BO}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \left( \frac{300}{4} + \frac{400}{3} \right) \approx -1,3896 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el trabajo para desplazar la masa $m_3 = 1,2 \text{ kg}$ desde $O$ hasta $C$ :

W_{O \to C} = m_3 (V_O - V_C) = 1,2 \text{ kg} \cdot (-1,3896 \cdot 10^{-8} - (-1,334 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W_{O \to C} = 1,2 \cdot (-5,56 \cdot 10^{-10}) = -6,67 \cdot 10^{-10} \text{ J}

El signo negativo indica que el trabajo es realizado en contra del campo gravitatorio, ya que el potencial en $C$ es mayor (menos negativo) que en $O$ .