T4: Funciones · Análisis de funciones (crecimiento, curvatura, límites) — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

T4: Funciones

Análisis de funciones (crecimiento, curvatura, límites)

Análisis

2025 · Ordinaria

Un periódico digital ha publicado una noticia de última hora. El número de personas que han visto la noticia t horas después de su lanzamiento viene modelado por la función:

N(t) = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t}); \quad t > 0

a) Estudie la monotonía y curvatura de la función N. b) Represente gráficamente la función N y describa su tendencia a lo largo del tiempo. c) ¿Cuánto tiempo ha debido de pasar para que la noticia haya sido vista por 450 000 personas? d) La velocidad de difusión de la noticia (número de personas por hora que han visto la publicación) es N'(t). ¿Qué conclusión se obtiene al comparar N'(t) en los instantes t = 1 y t = 10?

Funciones exponencialesMonotoníaCurvatura+2

La función que modela el número de personas que ven la noticia es:

N(t) = 500\,000 \cdot (1 - e^{-0.2t}); \quad t > 0

a) Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de la función respecto al tiempo:

N'(t) = 500\,000 \cdot (- e^{-0.2t}) \cdot (-0.2) = 100\,000 e^{-0.2t}

Dado que la función exponencial siempre es positiva para cualquier valor de t, y el coeficiente 100 000 también lo es, se cumple que:

N'(t) > 0 \quad \forall t > 0

Por lo tanto, la función N(t) es estrictamente creciente en todo su dominio. Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada:

N''(t) = 100\,000 \cdot (-0.2) e^{-0.2t} = -20\,000 e^{-0.2t}

Como la exponencial es positiva y el coeficiente es negativo:

N''(t) < 0 \quad \forall t > 0

Esto indica que la función es cóncava (o convexa hacia arriba) en todo su dominio. b) Para representar la función, observamos su comportamiento inicial y su límite al infinito:

N(0) = 500\,000 \cdot (1 - e^0) = 500\,000 \cdot (1 - 1) = 0

\lim_{t \to \infty} 500\,000 (1 - e^{-0.2t}) = 500\,000 (1 - 0) = 500\,000

La tendencia indica que el número de personas crece rápidamente al principio, pero la velocidad de crecimiento disminuye a medida que el número de espectadores se aproxima asintóticamente al límite de 500 000 personas. c) Para hallar el tiempo necesario para alcanzar 450 000 personas, resolvemos la ecuación:

450\,000 = 500\,000 (1 - e^{-0.2t})

\frac{450\,000}{500\,000} = 1 - e^{-0.2t} \implies 0.9 = 1 - e^{-0.2t}

e^{-0.2t} = 0.1 \implies -0.2t = \ln(0.1)

t = \frac{\ln(0.1)}{-0.2} \approx \frac{-2.3025}{-0.2} = 11.5127 \text{ h}

El tiempo transcurrido es de aproximadamente 11.51 horas. d) Evaluamos la velocidad de difusión N'(t) en los instantes solicitados:

N'(1) = 100\,000 e^{-0.2 \cdot 1} = 100\,000 e^{-0.2} \approx 81\,873.08 \text{ personas/hora}

N'(10) = 100\,000 e^{-0.2 \cdot 10} = 100\,000 e^{-2} \approx 13\,533.53 \text{ personas/hora}

Al comparar ambos resultados, se concluye que la velocidad de difusión de la noticia es mucho mayor en la primera hora que tras diez horas. Esto confirma que el impacto de la noticia es máximo al inicio y se va frenando drásticamente con el paso del tiempo, lo cual es coherente con la curvatura cóncava hallada en el apartado a.