T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

A1-b

b) Un planeta tiene un radio de

5000 \text{ km}

y la gravedad en su superficie es

8,2 \text{ m/s}^2

. Este planeta orbita en torno a una estrella que tiene una masa de

8 \cdot 10^{31} \text{ kg}

. Determine: i) la masa del planeta; ii) la velocidad de escape desde su superficie; iii) el radio de la órbita en la que la energía mecánica del planeta tiene un valor de

-8,15 \cdot 10^{33} \text{ J}

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$

Masa planetariaVelocidad de escapeEnergía mecánica

i) Para calcular la masa del planeta, partimos de la expresión de la intensidad del campo gravitatorio en su superficie, considerando el radio del planeta

R_p = 5000 \text{ km} = 5 \cdot 10^6 \text{ m}

g_0 = G \frac{m_p}{R_p^2}

Despejamos la masa del planeta $m_p$ y sustituimos los valores conocidos:

m_p = \frac{g_0 \cdot R_p^2}{G} = \frac{8,2 \text{ m/s}^2 \cdot (5 \cdot 10^6 \text{ m})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2} = 3,073 \cdot 10^{24} \text{ kg}

ii) La velocidad de escape desde la superficie del planeta es la velocidad necesaria para que la energía mecánica sea igual a cero en el infinito:

v_e = \sqrt{\frac{2 G m_p}{R_p}}

Dado que $g_0 = G \frac{m_p}{R_p^2}$ , podemos simplificar la expresión como $v_e = \sqrt{2 g_0 R_p}$ :

v_e = \sqrt{2 \cdot 8,2 \text{ m/s}^2 \cdot 5 \cdot 10^6 \text{ m}} = \sqrt{8,2 \cdot 10^7} \approx 9055,39 \text{ m/s}

iii) Para una órbita circular, la energía mecánica del planeta en torno a la estrella de masa

M_s = 8 \cdot 10^{31} \text{ kg}

se define como la mitad de su energía potencial:

E_m = -\frac{1}{2} G \frac{M_s m_p}{r}

Despejamos el radio de la órbita $r$ a partir del valor de la energía mecánica $E_m = -8,15 \cdot 10^{33} \text{ J}$ :

r = -\frac{G M_s m_p}{2 E_m}

r = -\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8 \cdot 10^{31} \cdot 3,073 \cdot 10^{24}}{2 \cdot (-8,15 \cdot 10^{33})} = \frac{1,639 \cdot 10^{46}}{1,63 \cdot 10^{34}} = 1,006 \cdot 10^{12} \text{ m}

El radio de la órbita es aproximadamente $1,01 \cdot 10^{12} \text{ m}$ .