T3: Vibraciones y ondas · Movimiento Armónico Simple (MAS)

T3: Vibraciones y ondas

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-b2

Una masa de $2 \text{ kg}$ está unida a un muelle sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Dicho muelle se alarga $5 \text{ cm}$ y se suelta en el instante inicial $t = 0 \text{ s}$ , oscilando con un período de $2 \text{ s}$ . Determine razonadamente:

i) La constante elástica del muelle.ii) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo.iii) La aceleración máxima de oscilación.

Oscilador armónicoMuelleCinemática del MAS

i) La constante elástica

k

se determina a partir de la relación entre el periodo de oscilación

T

y la masa

m

del sistema muelle-masa. La fórmula del periodo para un oscilador armónico simple es:

T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \implies k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}

Sustituyendo los valores del enunciado ( $m = 2 \text{ kg}$ y $T = 2 \text{ s}$ ):

k = \frac{4\pi^2 \cdot 2}{2^2} = 2\pi^2 \approx 19,74 \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

ii) Para obtener la expresión de la posición en función del tiempo

x(t)

, utilizamos la ecuación general del movimiento armónico simple:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)

Calculamos primero la frecuencia angular $\omega$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

Dado que en $t = 0 \text{ s}$ la masa se suelta desde su máxima elongación ( $x(0) = A = 0,05 \text{ m}$ ), determinamos la fase inicial $\phi_0$ :

0,05 = 0,05 \cos(\pi \cdot 0 + \phi_0) \implies 1 = \cos(\phi_0) \implies \phi_0 = 0 \text{ rad}

Por tanto, la expresión de la posición en unidades del S.I. es:

x(t) = 0,05 \cos(\pi t) \text{ (m)}

iii) La aceleración se obtiene derivando dos veces la posición respecto al tiempo:

a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x(t)

. La aceleración máxima se produce cuando el desplazamiento es máximo (

x = A

a_{\text{max}} = \omega^2 A

Sustituyendo los valores de $\omega$ y $A$ :

a_{\text{max}} = \pi^2 \cdot 0,05 \approx 0,493 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}