T2: Interacción electromagnética

Fuentes del campo magnético

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

B2-b

b) Por un hilo conductor muy largo situado en el eje

OX

circula una corriente de intensidad

I

en el sentido positivo de dicho eje. Si el campo magnético en el punto

P

de coordenadas

x = 0, y = 10, z = 0 \text{ cm}

tiene un módulo de

4 \cdot 10^{-5} \text{ T}

, determine con ayuda de un esquema: i) la corriente eléctrica que circula por el conductor; ii) el vector fuerza magnética que el hilo conductor ejerce sobre un electrón que se encuentra en el punto

P

y se mueve con una velocidad de

2 \cdot 10^7 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Datos: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ , $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Hilo indefinidoFuerza magnética

i) Para calcular la corriente eléctrica que circula por el hilo conductor muy largo, utilizamos la ley de Biot-Savart simplificada para un conductor rectilíneo indefinido. El módulo del campo magnético

B

a una distancia

d

del hilo viene dado por la expresión:

B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}

Dados los datos del enunciado, el punto $P$ se encuentra a una distancia $d = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}$ del eje $OX$ . Despejamos la intensidad $I$ de la fórmula anterior:

I = \frac{B \cdot 2 \pi d}{\mu_0} = \frac{4 \cdot 10^{-5} \text{ T} \cdot 2 \pi \cdot 0,1 \text{ m}}{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}} = 20 \text{ A}

ii) Para determinar el vector fuerza magnética sobre el electrón, primero debemos identificar la dirección del vector campo magnético

\vec{B}

en el punto

P(0, 10, 0) \text{ cm}

. Utilizando la regla de la mano derecha, si la corriente circula en el sentido

+OX

(vector unitario

\vec{i}

) y el punto se encuentra en el eje

+OY

(vector unitario

\vec{j}

), el campo magnético en dicho punto tiene la dirección del eje

+OZ

(vector unitario

\vec{k}

\vec{B} = 4 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento viene dada por la ley de Lorentz:

\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})

Sustituimos los valores para el electrón ( $q = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ) y su velocidad $\vec{v} = 2 \cdot 10^7 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ :

\vec{F}_m = (-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot [(2 \cdot 10^7 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \times (4 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T})]

Realizando el producto vectorial $\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$ :

\vec{F}_m = (-1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (800 \cdot [-\vec{j}]) = 1,28 \cdot 10^{-16} \vec{j} \text{ N}