T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio de masas puntuales

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A-b1

Dos masas puntuales de $200 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(0,-3) \text{ m}$ y $B(0,3) \text{ m}$ . Calcule razonadamente:

i) el campo gravitatorio en el punto

C(4,0) \text{ m}

, apoyándose en un esquema.ii) la fuerza sobre una masa puntual de

3 \text{ kg}

situada en el origen.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesIntensidad de campo gravitatorioFuerza gravitatoria

i) el campo gravitatorio en el punto

C(4,0) \text{ m}

, apoyándose en un esquema.

El campo gravitatorio resultante en el punto $C$ es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas individuales, de acuerdo con el principio de superposición. La expresión general del campo gravitatorio es $\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r$ .Calculamos primero la distancia de las masas al punto $C$ y los vectores unitarios correspondientes:

r_1 = r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ m}

\vec{u}_{1C} = \frac{4 \vec{i} + 3 \vec{j}}{5} ; \quad \vec{u}_{2C} = \frac{4 \vec{i} - 3 \vec{j}}{5}

Debido a la simetría del problema, las componentes en el eje $y$ de los campos se anulan ( $g_{1y} + g_{2y} = 0$ ), sumándose únicamente las componentes en el eje $x$ :

\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = -2 \cdot G \frac{M}{r^2} \cos \alpha \vec{i} = -2 \cdot G \frac{200}{5^2} \cdot \frac{4}{5} \vec{i}

\vec{g}_C = -12,8 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \vec{i} = -8,54 \cdot 10^{-10} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

ii) la fuerza sobre una masa puntual de

3 \text{ kg}

situada en el origen.

En el origen de coordenadas $O(0,0)$ , la masa $m = 3 \text{ kg}$ se encuentra a una distancia $r = 3 \text{ m}$ de ambas masas. La fuerza gravitatoria es atractiva y se dirige hacia cada una de las masas.La fuerza ejercida por $M_1$ (situada en el eje negativo) y la ejercida por $M_2$ (situada en el eje positivo) tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos sobre el eje $y$ :

\vec{F}_1 = G \frac{M_1 m}{r^2} (-\vec{j}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{200 \cdot 3}{3^2} (-\vec{j}) = -4,45 \cdot 10^{-9} \vec{j} \text{ N}

\vec{F}_2 = G \frac{M_2 m}{r^2} (\vec{j}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{200 \cdot 3}{3^2} (\vec{j}) = 4,45 \cdot 10^{-9} \vec{j} \text{ N}

La fuerza neta es la suma vectorial de ambas:

\vec{F}_{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0} \text{ N}