T5: Física moderna · Hipótesis de De Broglie — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T5: Física moderna

Hipótesis de De Broglie

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

D2-a

a) i) Determine la relación entre las velocidades de dos partículas de igual masa sabiendo que la longitud de onda de una es el doble que la de la otra. ii) ¿Cuál es la relación entre sus energías cinéticas?

dualidad onda-corpúsculolongitud de onda de De Broglieenergía cinética

a) i) Para determinar la relación entre las velocidades de las dos partículas, utilizamos la hipótesis de De Broglie. Esta establece que la longitud de onda

\lambda

asociada a una partícula de masa

m

que se desplaza con una velocidad

v

viene dada por la expresión:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Donde $h$ es la constante de Planck. Para dos partículas de igual masa ( $m_1 = m_2 = m$ ), planteamos la relación entre sus longitudes de onda según la condición del enunciado $\lambda_1 = 2\lambda_2$ :

\frac{h}{m \cdot v_1} = 2 \cdot \left( \frac{h}{m \cdot v_2} \right)

Simplificando los términos comunes $h$ y $m$ en ambos lados de la igualdad, obtenemos:

\frac{1}{v_1} = \frac{2}{v_2} \implies v_2 = 2 \cdot v_1

La velocidad de la segunda partícula es el doble que la velocidad de la primera.

a) ii) La energía cinética (

E_c

) de una partícula en régimen no relativista se define como:

E_c = \frac{1}{2} m v^2

Para hallar la relación entre sus energías cinéticas, calculamos el cociente entre ambas aprovechando que poseen la misma masa:

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{v_1^2}{v_2^2}

Sustituimos la relación de velocidades obtenida en el apartado anterior ( $v_2 = 2v_1$ ):

\frac{E_{c1}}{E_{c2}} = \frac{v_1^2}{(2 v_1)^2} = \frac{v_1^2}{4 v_1^2} = \frac{1}{4}

Por lo tanto, la relación entre sus energías cinéticas es $E_{c2} = 4 E_{c1}$ , es decir, la energía cinética de la segunda partícula es cuatro veces mayor que la de la primera.