T3: Vibraciones y ondas · Ecuación de onda — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ecuación de onda

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

C2-b

b) Considere un oleaje que se propaga en el sentido positivo del eje

OX

. Una boya, situada en

x = 10 \text{ m}

, describe una oscilación armónica vertical con una amplitud de

0,4 \text{ m}

y un periodo de

2 \text{ segundos}

. La velocidad de propagación de las olas en la superficie del mar es de

0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de las olas; ii) la ecuación de onda, asumiendo que, en el instante inicial

t = 0 \text{ s}

, la altura de la boya es máxima; iii) la velocidad máxima de oscilación de la boya.

Velocidad de propagaciónFase inicialCinemática de ondas

i) La longitud de onda

\lambda

se define como la distancia que recorre la perturbación en un periodo de oscilación

T

. Dado que conocemos la velocidad de propagación

v

y el periodo, aplicamos la relación:

v = \frac{\lambda}{T} \implies \lambda = v \cdot T

Sustituyendo los datos del enunciado, $v = 0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $T = 2 \text{ s}$ :

\lambda = 0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot 2 \text{ s} = 1,0 \text{ m}

ii) Para escribir la ecuación de onda

y(x, t) = A \cos(kx - \omega t + \phi_0)

, necesitamos calcular la frecuencia angular

\omega

y el número de onda

k

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2 \text{ s}} = \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1 \text{ m}} = 2\pi \text{ m}^{-1}

Determinamos la fase inicial $\phi_0$ utilizando la condición de contorno proporcionada: en $t = 0 \text{ s}$ y $x = 10 \text{ m}$ , la boya se encuentra en su altura máxima ( $y = A = 0,4 \text{ m}$ ):

y(10, 0) = 0,4 \cos(2\pi \cdot 10 - \pi \cdot 0 + \phi_0) = 0,4

\cos(20\pi + \phi_0) = 1 \implies 20\pi + \phi_0 = 0 \implies \phi_0 = -20\pi \equiv 0 \text{ rad}

Combinando todos los parámetros, la ecuación de la onda es (en unidades del S.I.):

y(x, t) = 0,4 \cos(2\pi x - \pi t)

iii) La velocidad de oscilación de la boya es la derivada temporal de su posición vertical

y(x, t)

v_y(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = -A\omega (-\sin(kx - \omega t + \phi_0)) = A\omega \sin(kx - \omega t + \phi_0)

La velocidad máxima de oscilación corresponde al valor de la amplitud de esta función de velocidad, es decir, el producto de la amplitud de la onda por la frecuencia angular:

v_{max} = A \cdot \omega

v_{max} = 0,4 \text{ m} \cdot \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1} = 0,4\pi \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 1,26 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}