T1: Interacción gravitatoria · Leyes de Kepler — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T1: Interacción gravitatoria

Leyes de Kepler

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

A2-a

a) El perihelio (P) y el afelio (A) son los puntos de la órbita elíptica de la Tierra que se encuentran más cerca y más lejos del Sol, respectivamente, siendo

r_P

r_A

las distancias de la Tierra al Sol en

P

y en

A

. Encuentre razonadamente la relación que existe entre las velocidades orbitales de la Tierra en

P

A

, y justifique en cuál de los dos puntos se desplaza la Tierra más rápidamente.

PerihelioAfelioVelocidad orbital+1

a) El movimiento de la Tierra alrededor del Sol está determinado por la fuerza de atracción gravitatoria. Dado que esta es una fuerza central (su línea de acción pasa siempre por el centro del Sol), el momento de la fuerza o torque (

\vec{ au}

) respecto al Sol es nulo. Según el teorema del momento angular, si el torque externo es cero, el momento angular (

\vec{L}

) del sistema permanece constante en módulo, dirección y sentido durante todo el movimiento orbital.

La expresión matemática que relaciona el torque con la variación del momento angular es:

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \implies \vec{L} = \text{constante}

El módulo del momento angular en cualquier punto de la trayectoria elíptica viene dado por la expresión $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sin \theta$ , donde $m$ es la masa de la Tierra, $v$ su velocidad orbital, $r$ la distancia al Sol y $\theta$ el ángulo entre el vector posición y el vector velocidad. En los puntos de la órbita conocidos como perihelio ( $P$ ) y afelio ( $A$ ), el vector velocidad es perpendicular al vector posición, por lo que $\theta = 90^\circ$ y $\sin 90^\circ = 1$ .Igualamos el momento angular en ambos puntos para encontrar la relación de velocidades:

L_P = L_A \implies m \cdot v_P \cdot r_P = m \cdot v_A \cdot r_A

Simplificando la masa de la Tierra ( $m$ ), obtenemos la relación final entre las velocidades y las distancias:

\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}

Dado que, por definición, la distancia en el afelio es mayor que en el perihelio ( $r_A > r_P$ ), para que se mantenga la igualdad el producto $v \cdot r$ constante, la velocidad en el perihelio debe ser mayor que en el afelio ( $v_P > v_A$ ). Por lo tanto, la Tierra se desplaza más rápidamente cuando se encuentra en el perihelio, el punto más cercano al Sol.