T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

B2-b

b) Considere una carga puntual de

2 \mu\text{C}

localizada en un punto

A(1,1) \text{ m}

. Determine razonadamente: i) el campo eléctrico creado por la carga puntual en el punto

P(2,2) \text{ m}

; ii) el trabajo necesario para trasladar una carga puntual de

3 \mu\text{C}

desde el infinito hasta el punto

P

, justificando el signo.

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Cargas puntualesTrabajo eléctrico

i) El campo eléctrico

\vec{E}

en el punto

P(2,2)

m creado por la carga

q_1 = 2 \mu\text{C}

situada en

A(1,1)

m se calcula mediante la ley de Coulomb para el campo eléctrico.

Primero definimos el vector posición que va desde la carga hasta el punto $P$ y calculamos su módulo (distancia):

\vec{r}_{AP} = (2-1)\vec{i} + (2-1)\vec{j} = 1\vec{i} + 1\vec{j} \text{ m}

r = |\vec{r}_{AP}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}

El vector unitario en la dirección de la línea que une ambos puntos es:

\vec{u}_r = \frac{\vec{r}_{AP}}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}

Aplicamos la expresión general del campo eléctrico para una carga puntual:

\vec{E} = K \frac{q_1}{r^2} \vec{u}_r

\vec{E} = 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{2})^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j} \right) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

\vec{E} = \frac{9 \cdot 10^3}{\sqrt{2}} (\vec{i} + \vec{j}) \approx 6363,96 \vec{i} + 6363,96 \vec{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

ii) El trabajo necesario para trasladar una carga

q_2 = 3 \mu\text{C}

desde el infinito hasta el punto

P

corresponde a la variación de la energía potencial del sistema, lo cual equivale al trabajo realizado por una fuerza externa contra el campo eléctrico.

La fórmula del potencial eléctrico $V$ en el punto $P$ debido a $q_1$ es:

V_P = K \frac{q_1}{r}

El trabajo externo $W_{\text{ext}}$ necesario se define como:

W_{\infty \to P} = q_2 (V_P - V_{\infty})

Como el potencial en el infinito es cero ( $V_{\infty} = 0$ ):

W_{\infty \to P} = 3 \cdot 10^{-6} \left( 9 \cdot 10^9 \frac{2 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{2}} - 0 \right) \text{ J}

W_{\infty \to P} = \frac{54 \cdot 10^{-3}}{\sqrt{2}} \approx 0,0382 \text{ J}

Justificación del signo: El trabajo es positivo ( $W > 0$ ) porque ambas cargas tienen el mismo signo (positivas). Existe una fuerza de repulsión electrostática natural entre ellas, por lo que para acercar la carga desde el infinito se debe realizar un trabajo en contra de las fuerzas del campo, aumentando la energía potencial del sistema.