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T3: Vibraciones y ondas
Ondas armónicas
Teoría
2023 · Extraordinaria · Reserva
C1-a
Examen
a) i) Escriba la ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda tensa en el sentido negativo del eje OXOX y que tiene una fase inicial no nula. Identifique cada una de las magnitudes que aparecen en la expresión. ii) Explique la diferencia entre la velocidad de propagación y la velocidad de vibración de un punto de la cuerda y escriba sus ecuaciones para esta onda.
Ecuación de ondaVelocidad de vibración
a) i) La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido negativo del eje OXOX y posee una fase inicial no nula se expresa de la siguiente forma:
y(x,t)=Asin(kx+ωt+ϕ0)y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi_0)

Las magnitudes que aparecen en la expresión anterior son:y(x,t)y(x, t): elongación o desplazamiento transversal de un punto de la cuerda respecto a su posición de equilibrio, medido en metros (m\text{m}). AA: amplitud de la onda, representa el máximo desplazamiento alcanzado por las partículas del medio (m\text{m}). kk: número de onda, definido como k=2π/λk = 2\pi / \lambda, donde λ\lambda es la longitud de onda (radm1\text{rad} \cdot \text{m}^{-1}). xx: posición del punto en el eje de propagación (m\text{m}). ω\omega: frecuencia angular o pulsación, definida como ω=2π/T\omega = 2\pi / T, donde TT es el periodo (rads1\text{rad} \cdot \text{s}^{-1}). tt: tiempo transcurrido (s\text{s}). ϕ0\phi_0: fase inicial, que indica el estado de vibración del punto en x=0x = 0 para el instante t=0t = 0 (rad\text{rad}).

a) ii) Diferencias entre velocidad de propagación y velocidad de vibración:

La velocidad de propagación (vv) es la velocidad con la que la perturbación (la fase de la onda) se desplaza a través del medio. Es una constante que depende exclusivamente de las propiedades del medio físico (en una cuerda, de su tensión y su densidad lineal). Su ecuación es:

v=λT=ωkv = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k}

La velocidad de vibración (vyv_y) es la velocidad con la que oscila cada una de las partículas del medio alrededor de su posición de equilibrio. Se trata de una magnitud variable en el tiempo que sigue un movimiento armónico simple. Se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo para una posición xx fija:

vy(x,t)=y(x,t)t=Aωcos(kx+ωt+ϕ0)v_y(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = A \omega \cos(kx + \omega t + \phi_0)