T1: Interacción gravitatoria

Leyes de Kepler y gravitación universal

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-a

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Órbitas circularesLeyes de KeplerPeríodo orbital

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Para analizar la veracidad de la afirmación, utilizaremos la Tercera Ley de Kepler, que relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con su distancia media al Sol $r$ . Esta ley establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita:

\frac{T^2}{r^3} = C

Donde $C$ es una constante que depende de la masa del astro central (el Sol). Para dos planetas que orbitan el mismo astro, podemos establecer la siguiente relación:

\frac{T_J^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Siendo $T_J$ y $r_J$ el periodo y el radio orbital de Júpiter, y $T_T$ y $r_T$ los correspondientes a la Tierra. El enunciado establece que el periodo de Júpiter es 12 veces el de la Tierra, es decir, $T_J = 12 T_T$ . Sustituimos esta relación en la igualdad:

\frac{(12 T_T)^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Operando en la ecuación para despejar la relación entre las distancias:

\frac{144 T_T^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3} \implies 144 = \frac{r_J^3}{r_T^3}

Para hallar el factor de proporción entre las distancias, aplicamos la raíz cúbica a ambos lados de la igualdad:

\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{144}

Calculando el valor numérico obtenemos:

\frac{r_J}{r_T} \approx 5,24

Por lo tanto, la distancia de Júpiter al Sol es aproximadamente $5,24$ veces la distancia de la Tierra al Sol. La afirmación del enunciado, que indicaba un factor de $3,2$ , es FALSA.