T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Teoría

2023 · Ordinaria · Suplente

C1-a

a) i) Escriba la ecuación de una onda estacionaria definiendo qué son los nodos y los vientres. ii) Deduzca la posición de los nodos y los vientres en función de la longitud de onda.

NodosVientresLongitud de onda

a) i) Una onda estacionaria se produce por la interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud

A

, frecuencia

f

y longitud de onda

\lambda

que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. La ecuación resultante de la superposición, utilizando el principio de superposición y relaciones trigonométricas, se expresa como:

y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)

En esta expresión, $2A \sin(kx)$ representa la amplitud de la oscilación de cada punto $x$ , que depende de su posición. A partir de esto se definen:Nodos: Son los puntos de la onda que permanecen inmóviles, es decir, su amplitud de oscilación es nula de forma permanente.Vientres (o antinodos): Son los puntos de la onda que oscilan con la máxima amplitud posible, que es $2A$ .

a) ii) Para deducir la posición de los nodos, igualamos la amplitud resultante a cero:

A(x) = |2A \sin(kx)| = 0 \implies \sin(kx) = 0

La función seno es nula cuando su argumento es un múltiplo entero de $\pi$ :

kx = n\pi \quad \text{con } n = 0, 1, 2, \dots

Sustituyendo el número de onda $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ , obtenemos las posiciones de los nodos:

\frac{2\pi}{\lambda} x = n\pi \implies x = n \frac{\lambda}{2} \quad \text{con } n = 0, 1, 2, \dots

Para deducir la posición de los vientres, buscamos los puntos donde la amplitud es máxima:

A(x) = |2A \sin(kx)| = 2A \implies |\sin(kx)| = 1

Esto ocurre cuando el argumento es un múltiplo impar de $\frac{\pi}{2}$ :

kx = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \quad \text{con } n = 0, 1, 2, \dots

Sustituyendo nuevamente $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ :

\frac{2\pi}{\lambda} x = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \implies x = (2n + 1) \frac{\lambda}{4} \quad \text{con } n = 0, 1, 2, \dots