T2: Interacción electromagnética

Campo magnético de conductores rectilíneos

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B-b1

Dos conductores rectilíneos muy largos se disponen paralelamente al eje $OZ$ . El primero pasa por el punto $A(0,1) \text{ m}$ y el segundo por el punto $B(0,4) \text{ m}$ del plano $XY$ . Por ellos circulan corrientes de $1 \text{ A}$ y $2 \text{ A}$ , respectivamente, hacia la parte positiva del eje $OZ$ .

i) Realice un esquema y calcule el vector campo magnético total en el punto

C(0,3) \text{ m}

del plano

XY

.ii) Calcule la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobre el conductor por el que pasa

2 \text{ A}

. Justifique sus respuestas.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

Conductores rectilíneosCampo magnéticoFuerza magnética entre conductores

i) Realice un esquema y calcule el vector campo magnético total en el punto

C(0,3) \text{ m}

del plano

XY

El campo magnético $\vec{B}$ creado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente $I$ , en un punto situado a una distancia $r$ , viene dado por la ley de Ampère. La dirección se determina mediante la regla de la mano derecha (sentido antihorario para una corriente saliente del plano):

\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \vec{u}_\theta

Calculamos las distancias de cada hilo al punto $C(0,3)$ y determinamos los vectores unitarios de sus campos individuales. Para $I_1 = 1 \text{ A}$ en $A(0,1)$ , la distancia es $r_1 = |3 - 1| = 2 \text{ m}$ . El campo en $C$ apunta hacia la izquierda ( $-\vec{i}$ ). Para $I_2 = 2 \text{ A}$ en $B(0,4)$ , la distancia es $r_2 = |3 - 4| = 1 \text{ m}$ . El campo en $C$ apunta hacia la derecha ( $\vec{i}$ ).

\vec{B}_1 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 1 \text{ A}}{2\pi \cdot 2 \text{ m}} (-\vec{i}) = -10^{-7} \vec{i} \text{ T}

\vec{B}_2 = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 2 \text{ A}}{2\pi \cdot 1 \text{ m}} (\vec{i}) = 4 \cdot 10^{-7} \vec{i} \text{ T}

Por el principio de superposición, el campo total en $C$ es la suma vectorial de ambos campos:

\vec{B}_C = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = (-10^{-7} + 4 \cdot 10^{-7}) \vec{i} = 3 \cdot 10^{-7} \vec{i} \text{ T}

ii) Calcule la fuerza por unidad de longitud que se ejerce sobre el conductor por el que pasa

2 \text{ A}

. Justifique sus respuestas.

La fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos que transportan corrientes $I_1$ e $I_2$ separados por una distancia $d$ se calcula como:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

La distancia entre los conductores es $d = |4 - 1| = 3 \text{ m}$ . Según la ley de Ampère-Lorentz, corrientes en el mismo sentido se atraen. Por tanto, el hilo 2 (en $B$ ) experimenta una fuerza atractiva hacia el hilo 1 (en $A$ ), lo que corresponde a la dirección negativa del eje $Y$ ( $-\vec{j}$ ).

\frac{F}{L} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1 \cdot 2}{2\pi \cdot 3} = \frac{4}{3} \cdot 10^{-7} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1} \approx 1,33 \cdot 10^{-7} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}

En notación vectorial, la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor de $2 \text{ A}$ es:

\vec{f} = -1,33 \cdot 10^{-7} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}