T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

B1-b

Una espira cuadrada de lado $4 \text{ cm}$ está inmersa en un campo magnético $\vec{B} = 3\vec{i} \text{ T}$ . La espira está inicialmente situada en el plano $XY$ de forma que el flujo magnético en la espira es nulo, y comienza a girar con una velocidad angular de $10 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ en torno al eje $OY$ .

i) Calcule, ayudándose de un esquema, el flujo magnético en función del tiempo.ii) Calcule la resistencia eléctrica de la espira, si la intensidad inducida máxima es de

0,25 \text{ A}

Flujo magnéticoLey de FaradayIntensidad inducida+1

i) Calcule, ayudándose de un esquema, el flujo magnético en función del tiempo.

El área de la espira cuadrada de lado $L = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ es:

S = L^2 = (0.04 \text{ m})^2 = 1.6 \cdot 10^{-3} \text{ m}^2

El vector campo magnético es $\vec{B} = 3\vec{i} \text{ T}$ . Inicialmente, la espira se encuentra en el plano $XY$ , por lo que su vector superficie $\vec{S}$ es perpendicular a dicho plano, orientado en la dirección del eje $Z$ (vector unitario $\vec{k}$ ). El ángulo inicial $\theta_0$ entre $\vec{B}$ y $\vec{S}$ es de $\pi/2 \text{ rad}$ ( $90^\circ$ ), lo que resulta en un flujo inicial nulo. Al girar con una velocidad angular $\omega = 10 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}$ en torno al eje $OY$ , el ángulo $\theta$ entre los vectores varía con el tiempo según $\theta(t) = \omega t + \theta_0 = 10t + \pi/2$ .La expresión general del flujo magnético $\Phi$ es el producto escalar del campo por la superficie:

\Phi(t) = \vec{B} \cdot \vec{S} = B \cdot S \cdot \cos(\omega t + \theta_0)

Sustituyendo los valores numéricos y aplicando la identidad trigonométrica $\cos(x + \pi/2) = -\sin(x)$ :

\Phi(t) = 3 \cdot 1.6 \cdot 10^{-3} \cdot \cos(10t + \pi/2) = -4.8 \cdot 10^{-3} \sin(10t) \text{ Wb}

ii) Calcule la resistencia eléctrica de la espira, si la intensidad inducida máxima es de

0,25 \text{ A}

Utilizando la ley de Faraday-Lenz, determinamos la fuerza electromotriz (f.e.m.) inducida como la derivada negativa del flujo respecto al tiempo:

\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt} [-4.8 \cdot 10^{-3} \sin(10t)]

\varepsilon(t) = 4.8 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot \cos(10t) = 0.048 \cos(10t) \text{ V}

La fuerza electromotriz inducida máxima es el valor de la amplitud de la onda sinusoidal obtenida:

\varepsilon_{max} = 0.048 \text{ V}

Finalmente, aplicando la ley de Ohm para circuitos cerrados ( $V = I \cdot R$ ), calculamos la resistencia de la espira conocida la intensidad máxima $I_{max} = 0.25 \text{ A}$ :

R = \frac{\varepsilon_{max}}{I_{max}} = \frac{0.048 \text{ V}}{0.25 \text{ A}} = 0.192 \text{ }\Omega