T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2024 · Extraordinaria · Titular

A1-a

a) Nuestra galaxia vecina, Andrómeda, tiene una masa de

1,5

veces la masa de la Vía Láctea. A escala galáctica, ambas se pueden considerar como dos masas puntuales. i) Justifique razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determine la relación entre las distancias de ese punto a cada galaxia. ii) ¿Se anula el potencial gravitatorio en algún punto entre ambas galaxias? Justifique su respuesta.

Campo gravitatorioPotencial gravitatorioPunto nulo

a) i) El campo gravitatorio resultante en un punto es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas:

\vec{g} = \vec{g}_V + \vec{g}_A

. Para que el campo se anule en un punto situado en la línea que une ambas galaxias, los vectores campo gravitatorio deben tener sentidos opuestos y módulos iguales.

Igualamos los módulos de los campos gravitatorios generados por la Vía Láctea ( $M_V$ ) y Andrómeda ( $M_A$ ), siendo $r_V$ la distancia del punto a la Vía Láctea y $r_A$ la distancia a Andrómeda:

G \frac{M_V}{r_V^2} = G \frac{M_A}{r_A^2}

Sustituyendo la relación de masas dada por el enunciado, $M_A = 1,5 M_V$ , y simplificando la constante $G$ y la masa $M_V$ :

\frac{M_V}{r_V^2} = \frac{1,5 M_V}{r_A^2} \implies \frac{r_A^2}{r_V^2} = 1,5

Calculando la raíz cuadrada para obtener la relación entre las distancias:

\frac{r_A}{r_V} = \sqrt{1,5} \approx 1,225

Esto confirma que existe un punto donde el campo se anula, situado a una distancia de Andrómeda que es $1,225$ veces la distancia a la Vía Láctea (el punto está más cerca de la galaxia menos masiva).

a) ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar. El potencial total en un punto es la suma de los potenciales creados por cada masa individualmente:

V = V_V + V_A = -G \frac{M_V}{r_V} - G \frac{M_A}{r_A}

Dado que la constante $G$ , las masas ( $M_V, M_A$ ) y las distancias ( $r_V, r_A$ ) son siempre valores positivos, ambos términos de la suma son siempre negativos. Por lo tanto, el potencial resultante $V$ será siempre negativo en cualquier punto del espacio finito y nunca podrá anularse ( $V < 0$ ). El potencial gravitatorio solo toma el valor cero a una distancia infinita de ambas masas.