T2: Interacción electromagnética

Interacción electrostática

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

2B-b

b) Dos cargas puntuales iguales de valor

-1,2 \cdot 10^{-6} \text{ C}

están situadas en los puntos

A(0,8) \text{ m}

B(6,0) \text{ m}

. Una tercera carga de valor

-1,5 \cdot 10^{-6} \text{ C}

se sitúa en el punto

P(3,4) \text{ m}

. Calcule: i) la fuerza eléctrica total ejercida sobre la carga situada en

P

, apoyándose de un esquema; ii) el trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar la tercera carga desde el infinito hasta el punto

P

Dato: $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

Fuerza eléctricaTrabajo eléctricoCargas puntuales

i) Calcule la fuerza eléctrica total ejercida sobre la carga situada en

P

, apoyándose de un esquema.

Primero identificamos los vectores de posición de las cargas $q_1$ y $q_2$ respecto al punto $P(3, 4)$ para calcular las distancias y los vectores unitarios. Los puntos son $A(0, 8)$ y $B(6, 0)$ .

\vec{r}_{AP} = (3-0)\vec{i} + (4-8)\vec{j} = 3\vec{i} - 4\vec{j} \text{ m}

\vec{r}_{BP} = (3-6)\vec{i} + (4-0)\vec{j} = -3\vec{i} + 4\vec{j} \text{ m}

Calculamos los módulos de las distancias, que resultan ser iguales ya que el punto $P$ es el punto medio del segmento $AB$ :

r_{AP} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \text{ m}; \quad r_{BP} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \text{ m}

La fuerza total sobre $q_3$ es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por $q_1$ y $q_2$ siguiendo el principio de superposición y la ley de Coulomb:

\vec{F}_{total} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = K \frac{q_1 q_3}{r_{AP}^3} \vec{r}_{AP} + K \frac{q_2 q_3}{r_{BP}^3} \vec{r}_{BP}

Dado que $q_1 = q_2 = -1,2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $r_{AP} = r_{BP}$ , y observando que $\vec{r}_{AP} = -\vec{r}_{BP}$ , las fuerzas tendrán el mismo módulo pero direcciones opuestas:

\vec{F}_{13} = 9 \cdot 10^9 \frac{(-1,2 \cdot 10^{-6})(-1,5 \cdot 10^{-6})}{5^3} (3\vec{i} - 4\vec{j}) = 1,296 \cdot 10^{-4} (3\vec{i} - 4\vec{j}) \text{ N}

\vec{F}_{23} = 9 \cdot 10^9 \frac{(-1,2 \cdot 10^{-6})(-1,5 \cdot 10^{-6})}{5^3} (-3\vec{i} + 4\vec{j}) = 1,296 \cdot 10^{-4} (-3\vec{i} + 4\vec{j}) \text{ N}

\vec{F}_{total} = (3,888 \cdot 10^{-4} - 3,888 \cdot 10^{-4})\vec{i} + (-5,184 \cdot 10^{-4} + 5,184 \cdot 10^{-4})\vec{j} = \vec{0} \text{ N}

ii) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar la tercera carga desde el infinito hasta el punto

P

El trabajo realizado por el campo eléctrico se define como el producto de la carga por la diferencia de potencial entre el punto inicial (infinito) y el punto final ( $P$ ):

W_{campo} = q_3 (V_{\infty} - V_P) = -q_3 V_P

Calculamos primero el potencial eléctrico en el punto $P$ creado por las cargas $q_1$ y $q_2$ , sabiendo que $V_{\infty} = 0$ :

V_P = K \frac{q_1}{r_{AP}} + K \frac{q_2}{r_{BP}} = 9 \cdot 10^9 \left( \frac{-1,2 \cdot 10^{-6}}{5} + \frac{-1,2 \cdot 10^{-6}}{5} \right) = -4320 \text{ V}

Sustituimos los valores para hallar el trabajo realizado por el campo:

W_{campo} = -(-1,5 \cdot 10^{-6} \text{ C}) \cdot (-4320 \text{ V}) = -6,48 \cdot 10^{-3} \text{ J}

El signo negativo indica que el trabajo es realizado contra las fuerzas del campo (ya que las cargas son del mismo signo y se repelen).