T1: Interacción gravitatoria

Potencial y Trabajo

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b1

b1) Dos masas puntuales de

400 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(2, 2) \text{ m}

B(2, -2) \text{ m}

. Calcule razonadamente: i) el potencial gravitatorio en el punto

C(2, 0) \text{ m}

; ii) el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de

3 \text{ kg}

, inicialmente en reposo en

C

, hasta dejarla en reposo en el origen de coordenadas.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Potencial gravitatorioTrabajoMasas puntuales

i) El potencial gravitatorio en un punto debido a una distribución de masas puntuales se calcula como la suma escalar de los potenciales individuales:

V = \sum V_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

. Primero, calculamos las distancias desde las masas situadas en

A(2, 2)

B(2, -2)

hasta el punto

C(2, 0)

r_{AC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2} = 2 \text{ m}; \quad r_{BC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = 2 \text{ m}

V_C = -G \left( \frac{M_A}{r_{AC}} + \frac{M_B}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 400 = -2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por una fuerza externa para desplazar la masa

m = 3 \text{ kg}

desde el punto

C

hasta el origen

O(0, 0)

, manteniendo la masa en reposo en ambos puntos (es decir,

\Delta E_k = 0

), es igual a la variación de su energía potencial:

W = \Delta E_p = m(V_O - V_C)

. Calculamos primero el potencial en el origen

O(0, 0)

determinando las nuevas distancias:

r_{AO} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}; \quad r_{BO} = \sqrt{(2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}

V_O = -G \left( \frac{400}{\sqrt{8}} + \frac{400}{\sqrt{8}} \right) = -G \frac{800}{\sqrt{8}} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 282,84 \approx -1,887 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Finalmente, sustituimos los valores de los potenciales para hallar el trabajo realizado por la fuerza externa:

W = m(V_O - V_C) = 3 \text{ kg} \cdot (-1,887 \cdot 10^{-8} - (-2,668 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W = 3 \cdot 0,781 \cdot 10^{-8} = 2,343 \cdot 10^{-8} \text{ J}