T1: Interacción gravitatoria

Satélites y órbitas

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

A-b2

b2) Un satélite de

1400 \text{ kg}

en una órbita circular tarda un día y medio en dar la vuelta a la Tierra. Calcule razonadamente: i) el radio de la órbita; ii) la velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $1 \text{ día} = 24 \text{ h}$

Órbita circularVelocidad de escapePeriodo orbital

i) Para calcular el radio de la órbita, partimos de la condición de que la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta para mantener al satélite en una trayectoria circular de radio

r

F_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Sustituyendo la velocidad orbital por su relación con el periodo orbital $v = \frac{2\pi r}{T}$ , obtenemos la tercera ley de Kepler:

G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \Rightarrow r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Primero, convertimos el periodo de días a segundos: $T = 1,5 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 129600 \text{ s}$ . Sustituimos los datos en la expresión del radio:

r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (129600 \text{ s})^2}{4\pi^2}}

r = \sqrt[3]{1,6966 \cdot 10^{23}} \approx 5,54 \cdot 10^7 \text{ m}

ii) La velocidad mínima necesaria para que el satélite abandone el campo gravitatorio (velocidad de escape) se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, imponiendo que la energía total en el infinito sea cero (

E_m = 0

E_m = E_c + E_p = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_T m}{r} = 0

Despejamos la velocidad de escape $v_e$ desde el radio de la órbita $r$ :

v_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{r}}

Sustituyendo los valores conocidos:

v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{5,54 \cdot 10^7 \text{ m}}}

v_e \approx 3796,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}