T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Teoría

2024 · Ordinaria · Titular

2A-a

a) i) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta. ii) La masa y el radio de la Tierra son

81

3,67

veces la masa y el radio de la Luna, respectivamente. ¿Qué relación existe entre las velocidades de escape desde las superficies de la Tierra y la Luna? Razone su respuesta.

Velocidad de escapeCampo gravitatorioConservación de la energía

a) i) La velocidad de escape se define como la velocidad mínima que debe comunicarse a un cuerpo de masa

m

situado en la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

para que escape de su atracción gravitatoria y llegue al infinito con velocidad nula.

El campo gravitatorio es un campo conservativo. Por tanto, la energía mecánica total de la masa $m$ se mantiene constante durante su movimiento. Para que el cuerpo escape del campo gravitatorio, debe ser capaz de alcanzar una distancia infinita, donde su energía potencial gravitatoria es nula. La condición de velocidad mínima implica que el cuerpo llegue al infinito con energía cinética nula, es decir, con velocidad cero.

E_m(\text{superficie}) = E_m(\infty) \Rightarrow E_c + E_p = 0

\frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M m}{R} = 0

Al despejar la velocidad de escape $v_e$ de la ecuación anterior, obtenemos la expresión general:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

a) ii) Para comparar las velocidades de escape de la Tierra (

v_{e,T}

) y de la Luna (

v_{e,L}

), partimos de los datos de relación entre sus masas y radios:

M_T = 81 M_L

R_T = 3,67 R_L

Establecemos el cociente entre ambas expresiones de velocidad de escape:

\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \frac{\sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T}}}{\sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}} = \sqrt{\frac{M_T}{M_L} \cdot \frac{R_L}{R_T}}

Sustituyendo los valores de las relaciones dadas en el enunciado:

\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \sqrt{\frac{81 M_L}{M_L} \cdot \frac{R_L}{3,67 R_L}} = \sqrt{\frac{81}{3,67}}

\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} \approx \sqrt{22,07} \approx 4,70

Por lo tanto, la velocidad de escape desde la superficie terrestre es aproximadamente $4,70$ veces la velocidad de escape desde la superficie de la Luna.