T1: Interacción gravitatoria

Potencial gravitatorio

Teoría

2023 · Ordinaria · Titular

A2-a

a) i) Escriba la expresión del potencial gravitatorio creado por una masa puntual

M

, indicando las magnitudes que aparecen en la misma. ii) Razone el signo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando una masa

m

, inicialmente en reposo en las proximidades de

M

, se desplaza por acción del campo gravitatorio.

Potencial gravitatorioTrabajo campo gravitatorio

a) i) El potencial gravitatorio

V

en un punto del espacio es una magnitud escalar que representa la energía potencial gravitatoria por unidad de masa colocada en dicho punto. La expresión del potencial creado por una masa puntual

M

a una distancia

r

es:

V = -G \frac{M}{r}

Las magnitudes que intervienen en la expresión son las siguientes:- $V$ : Potencial gravitatorio. En el Sistema Internacional se mide en $\text{J} \cdot \text{kg}^{-1}$ .- $G$ : Constante de gravitación universal. Su valor es $6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ .- $M$ : Masa puntual que genera el campo gravitatorio, medida en $\text{kg}$ .- $r$ : Distancia desde la masa $M$ hasta el punto donde se evalúa el potencial, medida en $\text{m}$ .

a) ii) Para razonar el signo del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (

W_g

), consideramos que la masa

m

se desplaza por acción del campo desde una posición inicial

A

a una posición final

B

. Al estar inicialmente en reposo, la única fuerza que actúa es la fuerza gravitatoria, que es atractiva.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa como la gravitatoria se define como la variación negativa de la energía potencial:

W_g = -\Delta E_p = -(E_{p,B} - E_{p,A}) = E_{p,A} - E_{p,B}

Dado que la fuerza gravitatoria es atractiva, la masa $m$ se moverá espontáneamente hacia $M$ , por lo que la distancia disminuye ( $r_B < r_A$ ). Analizando la expresión de la energía potencial $E_p = -G \frac{M \cdot m}{r}$ :Al ser $r_B < r_A$ , el término $\frac{1}{r_B} > \frac{1}{r_A}$ , lo que implica que $-G \frac{M \cdot m}{r_B} < -G \frac{M \cdot m}{r_A}$ (el valor es más negativo, por tanto, menor). Como $E_{p,B} < E_{p,A}$ , entonces $\Delta E_p < 0$ .En consecuencia, el trabajo realizado por el campo es positivo ( $W_g > 0$ ). Físicamente, esto significa que el campo gravitatorio es el que realiza el trabajo para desplazar la masa, favoreciendo el acercamiento entre ambos cuerpos.