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T1: Interacción gravitatoria
Energía y velocidad de escape
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
A2-b
Examen
b) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 2⋅103 m⋅s−12 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. i) Calcule la altura máxima que alcanza el objeto. ii) Una vez alcanzada dicha altura, ¿cuál es su velocidad de escape?

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}

Altura máximaVelocidad de escapeEnergía mecánica
TierraobjetoFgv

Para resolver este ejercicio utilizaremos el principio de conservación de la energía mecánica, dado que la única fuerza que actúa es la gravitatoria, la cual es conservativa.

b) i) Calculamos la altura máxima alcanzada. En el punto de lanzamiento (superficie terrestre), el objeto posee energía cinética y energía potencial. En el punto de altura máxima (hh), su velocidad es nula (v=0v = 0), por lo que solo posee energía potencial gravitatoria.
Em,0=Em,f⇒12mv02−GMTmRT=−GMTmRT+hE_{m,0} = E_{m,f} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_0^2 - G \frac{M_T m}{R_T} = - G \frac{M_T m}{R_T + h}

Dividiendo toda la expresión por la masa mm del objeto y despejando el término de la distancia final r=RT+hr = R_T + h:

1RT+h=1RT−v022GMT\frac{1}{R_T + h} = \frac{1}{R_T} - \frac{v_0^2}{2 G M_T}

Sustituimos los valores conocidos en unidades del Sistema Internacional (RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}):

1RT+h=16,37⋅106−(2⋅103)22⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024\frac{1}{R_T + h} = \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{(2 \cdot 10^3)^2}{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}
1RT+h=1,5698⋅10−7−5,0142⋅10−9=1,5197⋅10−7 m−1\frac{1}{R_T + h} = 1,5698 \cdot 10^{-7} - 5,0142 \cdot 10^{-9} = 1,5197 \cdot 10^{-7} \text{ m}^{-1}

Calculamos la distancia al centro y la altura hh:

RT+h=6,580⋅106 m⇒h=6,580⋅106−6,37⋅106=2,1⋅105 mR_T + h = 6,580 \cdot 10^6 \text{ m} \Rightarrow h = 6,580 \cdot 10^6 - 6,37 \cdot 10^6 = 2,1 \cdot 10^5 \text{ m}
ii) La velocidad de escape en un punto determinado es la velocidad mínima necesaria para que el objeto llegue al infinito con energía mecánica nula. La expresión para la velocidad de escape a una distancia rr del centro es:
ve=2GMTRT+hv_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{R_T + h}}

Utilizando el valor de la distancia al centro r=6,580⋅106 mr = 6,580 \cdot 10^6 \text{ m} calculado en el apartado anterior:

ve=2⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅10246,580⋅106v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{6,580 \cdot 10^6}}
ve≈1,10⋅104 m⋅s−1v_e \approx 1,10 \cdot 10^4 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}