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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
D-b1
Examen
b1) Tras iluminar un metal caracterizado por un trabajo de extracción de 5⋅10−18 J5 \cdot 10^{-18} \text{ J} con radiación a una determinada frecuencia, se comprueba que el potencial de frenado es 4,5 V4,5 \text{ V}. Calcule razonadamente: i) la frecuencia umbral de extracción del metal. ii) la energía cinética máxima de los electrones y su velocidad. iii) la frecuencia y longitud de onda de la radiación incidente.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}; c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Efecto fotoeléctricoTrabajo de extracciónPotencial de frenado
i) La frecuencia umbral de extracción del metal (f0f_0) es la frecuencia mínima de la radiación incidente por debajo de la cual no se produce la emisión de electrones. Se calcula a partir del trabajo de extracción (W0W_0) mediante la constante de Planck (hh):
W0=h⋅f0  ⟹  f0=W0hW_0 = h \cdot f_0 \implies f_0 = \frac{W_0}{h}

Sustituyendo los valores proporcionados para el metal:

f0=5⋅10−18 J6,63⋅10−34 J⋅s=7,54⋅1015 Hzf_0 = \frac{5 \cdot 10^{-18} \text{ J}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} = 7,54 \cdot 10^{15} \text{ Hz}
ii) La energía cinética máxima (Ec,maxE_{c,\text{max}}) de los fotoelectrones emitidos se determina a través del potencial de frenado (V0V_0), que es el valor del potencial necesario para anular la corriente fotoeléctrica:
Ec,max=e⋅V0E_{c,\text{max}} = e \cdot V_0
Ec,max=1,6⋅10−19 C⋅4,5 V=7,2⋅10−19 JE_{c,\text{max}} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 4,5 \text{ V} = 7,2 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Una vez obtenida la energía cinética, calculamos la velocidad máxima de los electrones utilizando la masa del electrón (mem_e):

Ec,max=12mev2  ⟹  v=2⋅Ec,maxmeE_{c,\text{max}} = \frac{1}{2} m_e v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{c,\text{max}}}{m_e}}
v=2⋅7,2⋅10−19 J9,1⋅10−31 kg=1,26⋅106 m⋅s−1v = \sqrt{\frac{2 \cdot 7,2 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = 1,26 \cdot 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
iii) De acuerdo con la ley de Einstein para el efecto fotoeléctrico, la energía de los fotones incidentes (EfE_{f}) se distribuye en superar el trabajo de extracción del metal y en proporcionar energía cinética a los electrones:
Ef=W0+Ec,maxE_{f} = W_0 + E_{c,\text{max}}
Ef=5⋅10−18 J+7,2⋅10−19 J=5,72⋅10−18 JE_{f} = 5 \cdot 10^{-18} \text{ J} + 7,2 \cdot 10^{-19} \text{ J} = 5,72 \cdot 10^{-18} \text{ J}

A partir de la energía total del fotón, obtenemos la frecuencia (ff) de la radiación incidente:

f=Efh=5,72⋅10−18 J6,63⋅10−34 J⋅s=8,63⋅1015 Hzf = \frac{E_{f}}{h} = \frac{5,72 \cdot 10^{-18} \text{ J}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}} = 8,63 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

Finalmente, calculamos la longitud de onda (λ\lambda) de dicha radiación utilizando la velocidad de la luz en el vacío (cc):

λ=cf=3⋅108 m⋅s−18,63⋅1015 Hz=3,48⋅10−8 m\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{8,63 \cdot 10^{15} \text{ Hz}} = 3,48 \cdot 10^{-8} \text{ m}