T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2024

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

C2-b

b) Una onda armónica se propaga con una velocidad de

20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

en la dirección negativa del eje

OX

. La frecuencia es de

100 \text{ Hz}

y la amplitud de oscilación es de

2 \cdot 10^{-3} \text{ m}

. En el instante inicial, la elongación de la onda en el origen es de

1 \cdot 10^{-3} \text{ m}

. Determine: i) el periodo; ii) la longitud de onda; iii) la expresión matemática de la onda.

Ecuación de ondaLongitud de ondaVelocidad de propagación

i) El periodo

T

de la onda es el tiempo que tarda un punto del medio en realizar una oscilación completa. Se calcula como el inverso de la frecuencia

f

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{100 \text{ Hz}} = 0,01 \text{ s}

ii) La longitud de onda

\lambda

es la distancia entre dos puntos que vibran en fase. Se relaciona con la velocidad de propagación

v

y la frecuencia

f

mediante la expresión:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{20 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{100 \text{ Hz}} = 0,2 \text{ m}

iii) Para obtener la expresión matemática de la onda armónica, primero determinamos la frecuencia angular

\omega

y el número de onda

k

\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 100 = 200 \pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{0,2} = 10 \pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

Puesto que la onda se propaga en la dirección negativa del eje $OX$ , el signo que acompaña a $x$ y $t$ en la fase debe ser el mismo. La ecuación general es $y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)$ . Aplicamos la condición inicial en el origen $y(0,0) = 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ para calcular la fase inicial $\phi_0$ :

1 \cdot 10^{-3} = 2 \cdot 10^{-3} \sin(\phi_0) \Rightarrow \sin(\phi_0) = 0,5 \Rightarrow \phi_0 = \frac{\pi}{6} \text{ rad}

Sustituyendo los parámetros obtenidos, la expresión matemática de la onda en el Sistema Internacional es:

y(x, t) = 2 \cdot 10^{-3} \sin(200 \pi t + 10 \pi x + \pi/6) \text{ m}