T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

1B-b

b) Una bobina formada por

100

espiras circulares de radio

5 \text{ cm}

está situada en el interior de un campo magnético uniforme dirigido en la dirección del eje de la bobina y de módulo

B(t) = 0,1 - 0,1 t^2

(S.I.). Determine: i) el flujo magnético en la bobina para

t = 2 \text{ s}

; ii) la fuerza electromotriz inducida en la bobina para

t = 2 \text{ s}

; iii) el instante de tiempo en el que la fuerza electromotriz inducida es nula.

Ley de Faraday-LenzBobinaFlujo magnético variable

Para resolver el ejercicio, primero identificamos los parámetros de la bobina y el campo magnético. El área $S$ de una de las espiras circulares de radio $r = 5 \text{ cm} = 0,05 \text{ m}$ es:

S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,05 \text{ m})^2 = 2,5 \cdot 10^{-3} \pi \text{ m}^2

i) El flujo magnético

\Phi

para una bobina de

N

espiras viene dado por la expresión:

\Phi(t) = N \cdot B(t) \cdot S \cdot \cos(\theta)

Dado que el campo está dirigido en la dirección del eje de la bobina, el ángulo entre el vector campo $\vec{B}$ y el vector superficie $\vec{S}$ es $\theta = 0^\circ$ , por lo que $\cos(0^\circ) = 1$ . Calculamos el valor del campo magnético para $t = 2 \text{ s}$ :

B(2) = 0,1 - 0,1 \cdot (2)^2 = 0,1 - 0,4 = -0,3 \text{ T}

Sustituimos los valores para hallar el flujo total en la bobina para $t = 2 \text{ s}$ :

\Phi(2) = 100 \cdot (-0,3 \text{ T}) \cdot (2,5 \cdot 10^{-3} \pi \text{ m}^2) \cdot 1 = -0,075\pi \text{ Wb} \approx -0,236 \text{ Wb}

ii) La fuerza electromotriz inducida

\varepsilon

se calcula mediante la ley de Faraday-Lenz, que establece que es igual a la variación negativa del flujo magnético respecto al tiempo:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N \cdot S \cdot \frac{dB}{dt}

Derivamos la función del campo magnético respecto al tiempo:

\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0,1 - 0,1t^2) = -0,2t

Sustituyendo en la fórmula de la fuerza electromotriz:

\varepsilon(t) = -100 \cdot (2,5 \cdot 10^{-3} \pi) \cdot (-0,2t) = 0,05\pi t \text{ V}

Para $t = 2 \text{ s}$ :

\varepsilon(2) = 0,05\pi \cdot 2 = 0,1\pi \text{ V} \approx 0,314 \text{ V}

iii) Para determinar el instante en el que la fuerza electromotriz inducida es nula, igualamos la expresión de

\varepsilon(t)

a cero:

0,05\pi t = 0

Resolviendo la ecuación para $t$ :

t = 0 \text{ s}