T5: Probabilidad · Teorema de la probabilidad total y de Bayes — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

T5: Probabilidad

Teorema de la probabilidad total y de Bayes

Problema

2025 · Ordinaria

En una casa con trastero viven tres personas y cada una tiene un llavero con las llaves de la casa. El primer llavero contiene 7 llaves, el segundo 8 y el tercero 5. En cada uno de los llaveros hay una única llave que abre el trastero. Otra persona necesita abrir el trastero y, para ello, selecciona un llavero al azar y, de este, elige una llave aleatoriamente e intenta abrirlo. Calcule la probabilidad de que: a) No haya acertado con la llave seleccionada. b) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero. c) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero. d) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero.

Probabilidad condicionadaTeorema de BayesDiagrama de árbol

Definimos los sucesos principales para resolver el problema basándonos en la elección del llavero y el resultado de intentar abrir el trastero:

L_1: \text{Seleccionar el primer llavero (7 llaves)} \\ L_2: \text{Seleccionar el segundo llavero (8 llaves)} \\ L_3: \text{Seleccionar el tercero llavero (5 llaves)} \\ A: \text{La llave seleccionada abre el trastero} \\ \bar{A}: \text{La llave seleccionada no abre el trastero}

Dado que el llavero se elige al azar, las probabilidades a priori son iguales para cada uno. Las probabilidades condicionadas de abrir el trastero según el llavero elegido son:

P(L_1) = P(L_2) = P(L_3) = \frac{1}{3} \\ P(A|L_1) = \frac{1}{7}, \quad P(A|L_2) = \frac{1}{8}, \quad P(A|L_3) = \frac{1}{5} \\ P(\bar{A}|L_1) = \frac{6}{7}, \quad P(\bar{A}|L_2) = \frac{7}{8}, \quad P(\bar{A}|L_3) = \frac{4}{5}

a) Para calcular la probabilidad de que no haya acertado con la llave seleccionada, aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total para el suceso complementario:

P(\bar{A}) = P(L_1) \cdot P(\bar{A}|L_1) + P(L_2) \cdot P(\bar{A}|L_2) + P(L_3) \cdot P(\bar{A}|L_3) \\ P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} \\ P(\bar{A}) = \frac{1}{3} \left( \frac{6}{7} + \frac{7}{8} + \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{240 + 245 + 224}{280} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{709}{280} \right) = \frac{709}{840} \\ \mathbf{P(\bar{A}) \approx 0.8440}

b) La probabilidad de que el llavero sea el tercero y la llave abra el trastero se corresponde con la intersección de ambos sucesos:

P(L_3 \cap A) = P(L_3) \cdot P(A|L_3) \\ P(L_3 \cap A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \\ \mathbf{P(L_3 \cap A) \approx 0.0667}

c) Para hallar la probabilidad de que la llave pertenezca al primer o tercer llavero sabiendo que abre el trastero, usamos el Teorema de Bayes. Primero calculamos la probabilidad total de abrirlo:

P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{709}{840} = \frac{131}{840} \\ P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{P((L_1 \cup L_3) \cap A)}{P(A)} = \frac{P(L_1 \cap A) + P(L_3 \cap A)}{P(A)} \\ P(L_1 \cup L_3 | A) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{1}{21} + \frac{1}{15}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{12}{105}}{\frac{131}{840}} = \frac{\frac{4}{35}}{\frac{131}{840}} = \frac{96}{131} \\ \mathbf{P(L_1 \cup L_3 | A) \approx 0.7328}

d) Si la llave no abre el trastero, queremos calcular la probabilidad de que esta no pertenezca al primer llavero. Esto equivale a que pertenezca al segundo o al tercero:

P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{P(\bar{L_1} \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} = \frac{P(L_2 \cap \bar{A}) + P(L_3 \cap \bar{A})}{P(\bar{A})} \\ P(\bar{L_1} | \bar{A}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{709}{840}} = \frac{\frac{1}{3} \left( \frac{35 + 32}{40} \right)}{\frac{709}{840}} = \frac{\frac{67}{120}}{\frac{709}{840}} = \frac{67 \cdot 7}{709} = \frac{469}{709} \\ \mathbf{P(\bar{L_1} | \bar{A}) \approx 0.6615}