T5: Física moderna · Dualidad onda-corpúsculo — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T5: Física moderna

Dualidad onda-corpúsculo

Teoría

2023 · Ordinaria · Titular

D1-a

a) Considere un núcleo de

^{28}\ce{Si}

y otro de

^{56}\ce{Fe}

. La masa del núcleo de hierro es el doble que la del núcleo de silicio. Determine, de forma justificada, la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie en las siguientes situaciones: i) si el momento lineal o cantidad de movimiento es el mismo para los dos; ii) si los dos núcleos se mueven con la misma energía cinética.

Hipótesis de De BroglieMomento linealEnergía cinética

a) De acuerdo con la hipótesis de De Broglie, toda partícula de masa

m

que se desplaza con una velocidad

v

(y por tanto tiene un momento lineal

p

) lleva asociada una onda cuya longitud de onda

\lambda

viene expresada por la relación:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Donde $h$ es la constante de Planck ( $6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ ). El enunciado establece que la masa del núcleo de hierro es el doble que la del silicio, es decir, $m_{Fe} = 2 m_{Si}$ .

i) Si el momento lineal es el mismo para los dos núcleos (

p_{Si} = p_{Fe} = p

Sustituyendo en la expresión de De Broglie para cada núcleo:

\lambda_{Si} = \frac{h}{p}; \quad \lambda_{Fe} = \frac{h}{p}

Al ser $h$ y $p$ constantes para ambos, la relación entre sus longitudes de onda es la unidad:

\frac{\lambda_{Fe}}{\lambda_{Si}} = \frac{h/p}{h/p} = 1 \implies \lambda_{Fe} = \lambda_{Si}

ii) Si los dos núcleos se mueven con la misma energía cinética (

E_{k, Si} = E_{k, Fe} = E_k

Primero debemos expresar la longitud de onda en función de la energía cinética. Sabiendo que $E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{p^2}{2m}$ , podemos despejar el momento lineal como $p = \sqrt{2 m E_k}$ . Sustituyendo en la ecuación de De Broglie obtenemos:

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_k}}

Para obtener la relación pedida, dividimos ambas expresiones considerando que $E_k$ es igual para ambos núcleos:

\frac{\lambda_{Fe}}{\lambda_{Si}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2 m_{Fe} E_k}}}{\frac{h}{\sqrt{2 m_{Si} E_k}}} = \sqrt{\frac{m_{Si}}{m_{Fe}}}

Sustituimos el dato de la relación de masas $m_{Fe} = 2 m_{Si}$ :

\frac{\lambda_{Fe}}{\lambda_{Si}} = \sqrt{\frac{m_{Si}}{2 m_{Si}}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

La relación entre sus longitudes de onda es $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (aproximadamente $0,707$ ), lo que significa que la longitud de onda asociada al núcleo de hierro es menor que la del núcleo de silicio.