T3: Vibraciones y ondas · Ondas armónicas — FISICA PEvAU Andalucía 2023

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

C1-b

b) Por una cuerda tensa se propaga una onda armónica cuya ecuación es:

y(x,t) = 3 \cdot \text{sen}(0,5\pi t - \pi x) \text{ (S.I.)}

. Determine razonadamente: i) la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda; ii) el valor de la aceleración para el punto

x = 1 \text{ m}

para

t = 4 \text{ s}

Velocidad de vibraciónAceleraciónEcuación de onda

b) La ecuación de la onda armónica en el Sistema Internacional es

y(x, t) = 3 \sin(0,5\pi t - \pi x)

. Al comparar esta expresión con la forma general

y(x, t) = A \sin(\omega t - kx)

, identificamos los parámetros característicos de la onda:

A = 3 \text{ m}; \quad \omega = 0,5\pi \text{ rad/s}; \quad k = \pi \text{ rad/m}

i) La velocidad de vibración transversal de un punto de la cuerda se obtiene derivando la posición respecto al tiempo:

v(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t} = A \omega \cos(\omega t - kx)

La velocidad máxima de vibración, $v_{\text{máx}}$ , se alcanza cuando el término del coseno es la unidad ( $1$ o $-1$ ):

v_{\text{máx}} = A \omega = 3 \text{ m} \cdot 0,5\pi \text{ rad/s} = 1,5\pi \text{ m/s} \approx 4,71 \text{ m/s}

ii) La aceleración de vibración se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo (o realizando la segunda derivada de la elongación):

a(x, t) = \frac{\partial v(x, t)}{\partial t} = -A \omega^2 \sin(\omega t - kx) = -\omega^2 y(x, t)

Para determinar el valor de la aceleración en el punto $x = 1 \text{ m}$ para el instante $t = 4 \text{ s}$ , sustituimos los valores en la ecuación:

a(1, 4) = -(0,5\pi)^2 \cdot 3 \sin(0,5\pi \cdot 4 - \pi \cdot 1) \text{ m/s}^2

Calculamos el argumento del seno (fase):

\phi = 2\pi - \pi = \pi \text{ rad}

Sustituyendo el valor de $\sin(\pi) = 0$ en la expresión de la aceleración:

a(1, 4) = -0,75\pi^2 \sin(\pi) = -0,75\pi^2 \cdot 0 = 0 \text{ m/s}^2