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T5: Física moderna
Hipótesis de De Broglie
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
D2-b
Examen
b) Un protón tiene una longitud de onda de De Broglie de 4,2⋅10−10 m4,2 \cdot 10^{-10} \text{ m}. Calcule razonadamente: i) la velocidad del protón; ii) la masa que tendría una partícula con una longitud de onda de De Broglie asociada de 3,2⋅10−12 m3,2 \cdot 10^{-12} \text{ m} que se moviera con la misma velocidad que el protón; iii) la energía cinética de dicha partícula.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅s;mp=1,67⋅10−27 kgh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; m_p = 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

longitud de onda de De Broglievelocidad del protónenergía cinética
i) Para calcular la velocidad del protón, utilizamos la hipótesis de De Broglie, que relaciona la longitud de onda λ\lambda con el momento lineal pp de la partícula (p=m⋅vp = m \cdot v):
λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

Despejamos la velocidad vv de la expresión anterior y sustituimos los valores del protón proporcionados:

v=hmp⋅λ=6,63⋅10−34 J⋅s(1,67⋅10−27 kg)⋅(4,2⋅10−10 m)=945,25 m⋅s−1v = \frac{h}{m_p \cdot \lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (4,2 \cdot 10^{-10} \text{ m})} = 945,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
ii) Para encontrar la masa de una partícula que tiene una longitud de onda de De Broglie de 3,2⋅10−12 m3,2 \cdot 10^{-12} \text{ m} y se mueve a la misma velocidad que el protón calculado en el apartado anterior (v=945,25 m⋅s−1v = 945,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}), volvemos a aplicar la misma relación:
m=hλ⋅vm = \frac{h}{\lambda \cdot v}

Sustituyendo los datos correspondientes:

m=6,63⋅10−34 J⋅s(3,2⋅10−12 m)⋅(945,25 m⋅s−1)=2,19⋅10−25 kgm = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(3,2 \cdot 10^{-12} \text{ m}) \cdot (945,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})} = 2,19 \cdot 10^{-25} \text{ kg}
iii) La energía cinética EcE_c de la partícula se define por la expresión clásica (dado que la velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz):
Ec=12m⋅v2E_c = \frac{1}{2} m \cdot v^2

Sustituimos la masa calculada en el apartado anterior y la velocidad común:

Ec=12⋅(2,19⋅10−25 kg)⋅(945,25 m⋅s−1)2=9,78⋅10−20 JE_c = \frac{1}{2} \cdot (2,19 \cdot 10^{-25} \text{ kg}) \cdot (945,25 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 9,78 \cdot 10^{-20} \text{ J}