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T6: Física nuclear
Radiactividad
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
D2-b
Examen
b) El periodo de semidesintegración del cobalto-60 es de 5,27 an˜os5,27 \text{ años}. i) Determine la constante de desintegración radiactiva. ii) ¿Cuántos gramos de cobalto se habrán desintegrado, transcurridos 27 an˜os27 \text{ años}, en una muestra que tiene actualmente 6 g6 \text{ g} de dicho isótopo? iii) Determine la actividad de la muestra transcurrido ese tiempo.

Datos: m(X60X2260Co)=59,933822 um(\ce{^{60}Co}) = 59,933822 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Cobalto-60Constante de desintegraciónActividad
i) Determine la constante de desintegración radiactiva.

La constante de desintegración radiactiva λ\lambda se relaciona con el periodo de semidesintegración T1/2T_{1/2} mediante la siguiente expresión:

λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor del periodo en años, obtenemos la constante en an˜os−1\text{años}^{-1}:

λ=ln⁡25,27 an˜os=0,1315 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{5,27 \text{ años}} = 0,1315 \text{ años}^{-1}

Para cálculos posteriores en el Sistema Internacional, la convertimos a s−1\text{s}^{-1}:

λ=0,1315 an˜os−1365,25⋅24⋅3600=4,168⋅10−9 s−1\lambda = \frac{0,1315 \text{ años}^{-1}}{365,25 \cdot 24 \cdot 3600} = 4,168 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}
ii) ¿Cuántos gramos de cobalto se habrán desintegrado, transcurridos 27 an˜os27 \text{ años}, en una muestra que tiene actualmente 6 g6 \text{ g} de dicho isótopo?

Primero calculamos la masa de cobalto que permanece en la muestra tras 27 an˜os27 \text{ años} utilizando la ley de desintegración radiactiva:

m(t)=m0⋅e−λtm(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}

Sustituimos los datos conocidos (m0=6 gm_0 = 6 \text{ g}, t=27 an˜ost = 27 \text{ años} y λ=0,1315 an˜os−1\lambda = 0,1315 \text{ años}^{-1}):

m(27)=6 g⋅e−(0,1315⋅27)=6⋅e−3,5505=0,172 gm(27) = 6 \text{ g} \cdot e^{-(0,1315 \cdot 27)} = 6 \cdot e^{-3,5505} = 0,172 \text{ g}

La masa desintegrada Δm\Delta m es la diferencia entre la masa inicial y la masa final:

Δm=m0−m(t)=6 g−0,172 g=5,828 g\Delta m = m_0 - m(t) = 6 \text{ g} - 0,172 \text{ g} = 5,828 \text{ g}
iii) Determine la actividad de la muestra transcurrido ese tiempo.

La actividad AA se define como el número de desintegraciones por unidad de tiempo y se calcula mediante el producto de la constante radiactiva por el número de núcleos presentes NN:

A=λ⋅NA = \lambda \cdot N

Primero calculamos el número de núcleos presentes a los 27 an˜os27 \text{ años} a partir de la masa remanente (0,172 g=1,72⋅10−4 kg0,172 \text{ g} = 1,72 \cdot 10^{-4} \text{ kg}) y la masa de un átomo de X60X2260Co\ce{^{60}Co}:

maˊtomo=59,933822 u⋅1,66⋅10−27 kg/u=9,949⋅10−26 kgm_{\text{átomo}} = 59,933822 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 9,949 \cdot 10^{-26} \text{ kg}
N=m(27)maˊtomo=1,72⋅10−4 kg9,949⋅10−26 kg=1,729⋅1021 nuˊcleosN = \frac{m(27)}{m_{\text{átomo}}} = \frac{1,72 \cdot 10^{-4} \text{ kg}}{9,949 \cdot 10^{-26} \text{ kg}} = 1,729 \cdot 10^{21} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad en el Sistema Internacional (Bequerelios):

A=(4,168⋅10−9 s−1)⋅(1,729⋅1021)=7,206⋅1012 BqA = (4,168 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}) \cdot (1,729 \cdot 10^{21}) = 7,206 \cdot 10^{12} \text{ Bq}