T1: Interacción gravitatoria

Cinemática y dinámica orbital

Teoría

2023 · Ordinaria · Reserva

A1-a

a) Deduzca la relación entre la velocidad orbital y la velocidad de escape de un satélite que se encuentra orbitando a una distancia

r

del centro de la Tierra.

Velocidad orbitalVelocidad de escape

a) Deduzca la relación entre la velocidad orbital y la velocidad de escape de un satélite que se encuentra orbitando a una distancia

r

del centro de la Tierra.

Para que un satélite de masa $m$ mantenga una órbita circular estable de radio $r$ alrededor de la Tierra (de masa $M$ ), la fuerza de atracción gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

F_g = F_c \implies G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v_o^2}{r}

Despejando la velocidad orbital $v_o$ , obtenemos:

v_o = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}

Por otro lado, la velocidad de escape $v_e$ es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo en la posición $r$ para que su energía mecánica total sea igual a cero, permitiéndole alcanzar el infinito con velocidad nula. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:

E_m = E_c + E_p = 0 \implies \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M \cdot m}{r} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ de la ecuación anterior:

v_e = \sqrt{\frac{2 G \cdot M}{r}}

Para encontrar la relación entre ambas velocidades, podemos expresar $v_e$ en función de los términos de $v_o$ :

v_e = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}} = \sqrt{2} \cdot v_o

Por lo tanto, la velocidad de escape de un satélite en órbita es $\sqrt{2}$ veces su velocidad orbital.