T3: Vibraciones y ondas

Ecuación de onda estacionaria

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

C2-b

Una cuerda vibra de acuerdo a la ecuación: $y(x,t) = 10 \cdot \text{sen}(\pi/3 \cdot x) \cdot \cos(20\pi \cdot t)$ (S.I.).

b) Calcule razonadamente: i) la longitud de onda y la distancia entre el segundo y el quinto nodo; ii) la velocidad de vibración del punto situado en

x = 4,5 \text{ m}

en el instante

t = 0,4 \text{ s}

nodosvelocidad de vibraciónS.I.

b) i) La ecuación de la onda estacionaria dada es

y(x,t) = 10 \sin \left( \frac{\pi}{3} x \right) \cos(20\pi t)

. Comparándola con la forma general

y(x,t) = A_s \sin(kx) \cos(\omega t)

, identificamos el número de onda

k

k = \frac{\pi}{3} \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

La longitud de onda $\lambda$ se calcula a partir del número de onda mediante la relación $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ :

\lambda = \frac{2\pi}{\pi / 3} = 6 \text{ m}

Los nodos son los puntos donde la amplitud de la oscilación es nula, lo que ocurre cuando $\sin(kx) = 0$ . Esto sucede para valores de $x$ tales que:

k \cdot x = n \pi \implies \frac{\pi}{3} x = n \pi \implies x_n = 3n \text{ m} \quad (n = 0, 1, 2, ...)

Considerando el primer nodo en $n=0$ ( $x_1 = 0 \text{ m}$ ), las posiciones del segundo ( $n=1$ ) y quinto nodo ( $n=4$ ) son:

x_2 = 3 \cdot 1 = 3 \text{ m} \quad ; \quad x_5 = 3 \cdot 4 = 12 \text{ m}

La distancia entre el segundo y el quinto nodo es:

d = x_5 - x_2 = 12 \text{ m} - 3 \text{ m} = 9 \text{ m}

b) ii) La velocidad de vibración de un punto de la cuerda se obtiene derivando la posición respecto al tiempo

v(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}

v(x,t) = 10 \sin \left( \frac{\pi}{3} x \right) \cdot \left[ -20\pi \sin(20\pi t) \right] = -200\pi \sin \left( \frac{\pi}{3} x \right) \sin(20\pi t)

Sustituimos los valores de $x = 4,5 \text{ m}$ y $t = 0,4 \text{ s}$ en la expresión de la velocidad:

v(4,5; 0,4) = -200\pi \sin \left( \frac{\pi \cdot 4,5}{3} \right) \sin(20\pi \cdot 0,4)

Calculamos los argumentos de las funciones trigonométricas:

\sin \left( 1,5\pi \right) = -1 \quad ; \quad \sin(8\pi) = 0

Al ser el seno del tiempo igual a cero, la velocidad de vibración en ese instante es nula:

v(4,5; 0,4) = -200\pi \cdot (-1) \cdot 0 = 0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}