T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

A2-b

b) Dos masas puntuales de

10

5 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(0,3) \text{ m}

B(4,0) \text{ m}

, respectivamente. i) Represente el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto

C(4,3) \text{ m}

y calcule el campo gravitatorio en dicho punto. ii) Calcule el potencial gravitatorio en el punto C. iii) Determine el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de

4 \text{ kg}

desde C hasta el punto

D(0,0) \text{ m}

. Discuta el signo del trabajo obtenido.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Principio de superposiciónTrabajo gravitatorio

i) Represente el campo gravitatorio producido por cada una de las masas en el punto

C(4,3) \text{ m}

y calcule el campo gravitatorio en dicho punto.

En primer lugar, situamos las masas en el plano. La masa $m_1 = 10 \text{ kg}$ se encuentra en $A(0,3)$ y la masa $m_2 = 5 \text{ kg}$ en $B(4,0)$ . El punto de estudio es $C(4,3)$ . El vector campo gravitatorio creado por una masa puntual viene dado por:

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r

Calculamos las distancias desde las masas al punto $C$ . Para $m_1$ en $A(0,3)$ , la distancia es $r_1 = |4 - 0| = 4 \text{ m}$ en dirección horizontal. Para $m_2$ en $B(4,0)$ , la distancia es $r_2 = |3 - 0| = 3 \text{ m}$ en dirección vertical.Los vectores unitarios desde las masas hacia el punto $C$ son $\vec{i}$ para $m_1$ y $\vec{j}$ para $m_2$ . Por tanto, los campos en $C$ apuntan hacia las masas:

\vec{g}_1 = -G \frac{m_1}{r_1^2} (-\vec{i}) = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{10}{4^2} \vec{i} = -4,17 \cdot 10^{-11} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

\vec{g}_2 = -G \frac{m_2}{r_2^2} (-\vec{j}) = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{5}{3^2} \vec{j} = -3,71 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

El campo total en $C$ es la suma vectorial de ambos:

\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (-4,17 \vec{i} - 3,71 \vec{j}) \cdot 10^{-11} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

ii) Calcule el potencial gravitatorio en el punto C.

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales creados por cada masa:

V = -G \sum \frac{m_i}{r_i}

V_C = -G \left( \frac{m_1}{r_1} + \frac{m_2}{r_2} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \left( \frac{10}{4} + \frac{5}{3} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (2,5 + 1,67) = -2,78 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) Determine el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de

4 \text{ kg}

desde C hasta el punto

D(0,0) \text{ m}

. Discuta el signo del trabajo obtenido.

El trabajo realizado por el campo (fuerza conservativa) es igual a la variación negativa de la energía potencial:

W_{C \to D} = -\Delta E_p = E_{p,C} - E_{p,D} = m (V_C - V_D)

Primero calculamos el potencial en el punto $D(0,0)$ . Las distancias desde $A(0,3)$ y $B(4,0)$ a $D$ son $r_{AD} = 3 \text{ m}$ y $r_{BD} = 4 \text{ m}$ respectivamente:

V_D = -G \left( \frac{10}{3} + \frac{5}{4} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (3,33 + 1,25) = -3,06 \cdot 10^{-10} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el trabajo para $m = 4 \text{ kg}$ :

W_{C \to D} = 4 \cdot [-2,78 \cdot 10^{-10} - (-3,06 \cdot 10^{-10})] = 4 \cdot (0,28 \cdot 10^{-10}) = 1,12 \cdot 10^{-10} \text{ J}

El trabajo obtenido es positivo ( $W > 0$ ). Esto indica que el trabajo es realizado por el propio campo gravitatorio, lo que implica que la masa se desplaza de forma espontánea hacia una región de menor energía potencial (más estable), acercándose en promedio al centro de masas del sistema.