T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2025

T3: Vibraciones y ondas

Ondas estacionarias

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

C-b2

b2) Una onda estacionaria está descrita mediante la siguiente ecuación:

y(x,t) = 0,5 \cdot \cos(0,5\pi x) \cdot \text{sen}(4\pi t) \text{ (SI)}

. Determine razonadamente: i) la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria. ii) la posición de algún nodo, ayudándose de un esquema.

Ecuación de onda estacionariaNodosArmónicos

i) Determine la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas armónicas cuya superposición da lugar a esta onda estacionaria.

Una onda estacionaria se describe como la superposición de dos ondas armónicas idénticas que viajan en sentidos opuestos. La ecuación general para una onda estacionaria con un antinodo en el origen para su parte espacial es:

y(x,t) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t)

Comparando con la ecuación proporcionada $y(x,t) = 0,5 \cos(0,5\pi x) \sin(4\pi t)$ , identificamos los parámetros de las ondas armónicas componentes:

2A = 0,5 \text{ m} \implies A = 0,25 \text{ m}

k = 0,5\pi \text{ rad} \cdot \text{m}^{-1}

\omega = 4\pi \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}

A partir del número de onda ( $k$ ) y la frecuencia angular ( $\omega$ ), calculamos la longitud de onda ( $\lambda$ ) y la velocidad de propagación ( $v$ ):

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0,5\pi} = 4 \text{ m}

v = \frac{\omega}{k} = \frac{4\pi}{0,5\pi} = 8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

ii) Determine la posición de algún nodo, ayudándose de un esquema.

Los nodos son los puntos del medio donde la amplitud de la onda estacionaria es siempre cero. Esto ocurre cuando el factor espacial de la ecuación se anula:

\cos(0,5\pi x) = 0

La función coseno es nula para múltiplos impares de $\pi/2$ :

0,5\pi x = (2n + 1) \frac{\pi}{2} \implies x = 2n + 1 \quad \text{con } n = 0, 1, 2, \dots

Para $n = 0$ , obtenemos la posición del primer nodo en el eje positivo:

x = 1 \text{ m}