T2: Interacción electromagnética

Campo magnético

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

B1-a

a) En una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme entran perpendicularmente al mismo, y con igual velocidad, dos partículas de masas

m_1

m_2

y de cargas

q

2q

, respectivamente. i) Si el radio descrito por la segunda partícula es el doble que el de la primera, obtenga razonadamente la relación entre

m_1

m_2

. ii) Razone si la fuerza magnética realiza trabajo sobre las partículas y cómo cambia su energía cinética.

Fuerza de LorentzRadio de curvaturaTrabajo magnético

a) i) Cuando una carga eléctrica se mueve en una región donde existe un campo magnético uniforme

\vec{B}

, experimenta una fuerza magnética dada por la ley de Lorentz:

\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})

Dado que las partículas entran perpendicularmente al campo ( $\vec{v} \perp \vec{B}$ ), la fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, lo que origina un movimiento circular uniforme. En este caso, la fuerza magnética actúa como fuerza centrípeta:

F_m = F_c \implies q v B = \frac{m v^2}{R}

Despejando el radio de la trayectoria circular $R$ obtenemos:

R = \frac{m v}{q B}

Aplicamos la relación para cada partícula, considerando que ambas tienen la misma velocidad $v$ y están en el mismo campo $B$ . Para la partícula 1 (carga $q$ , masa $m_1$ ) y la partícula 2 (carga $2q$ , masa $m_2$ ):

R_1 = \frac{m_1 v}{q B} \quad ; \quad R_2 = \frac{m_2 v}{(2q) B}

Sustituimos el dato del enunciado, donde se indica que el radio de la segunda es el doble que el de la primera ( $R_2 = 2 R_1$ ):

\frac{m_2 v}{2 q B} = 2 \left( \frac{m_1 v}{q B} \right)

Simplificando los términos $v$ , $q$ y $B$ en ambos lados de la igualdad:

\frac{m_2}{2} = 2 m_1 \implies m_2 = 4 m_1

La relación entre las masas es que la masa de la segunda partícula es cuatro veces la masa de la primera: $m_2 / m_1 = 4$ .

a) ii) El trabajo realizado por la fuerza magnética es nulo. Esto se debe a que la fuerza de Lorentz es, por definición de producto vectorial, siempre perpendicular a la velocidad instantánea de la partícula (

\vec{F}_m \perp \vec{v}

Como el desplazamiento elemental $d\vec{r}$ tiene la misma dirección que la velocidad, el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento es cero:

W = \int \vec{F}_m \cdot d\vec{r} = \int F_m \cdot dr \cdot \cos(90^\circ) = 0 \text{ J}

Aplicando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo total realizado sobre la partícula es igual a la variación de su energía cinética:

W = \Delta E_k = 0

Por lo tanto, la energía cinética de las partículas no cambia ( $\Delta E_k = 0$ ). La fuerza magnética solo modifica la dirección del vector velocidad, pero mantiene constante su módulo.