T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2024 · Extraordinaria · Titular

A1-a

a) Nuestra galaxia vecina, Andrómeda, tiene una masa de 1,5 veces la masa de la Vía Láctea. A escala galáctica, ambas se pueden considerar como dos masas puntuales. i) Justifique razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determine la relación entre las distancias de ese punto a cada galaxia. ii) ¿Se anula el potencial gravitatorio en algún punto entre ambas galaxias? Justifique su respuesta.

Interacción gravitatoriaCampo gravitatorioPotencial gravitatorio

a) i) Para determinar si existe un punto donde el campo gravitatorio se anule, consideramos que el campo total

\vec{g}

es la suma vectorial de los campos creados por la Vía Láctea (

V

) y Andrómeda (

A

En cualquier punto sobre la línea que une ambos centros de masas, los vectores de campo gravitatorio individuales tienen la misma dirección pero sentidos opuestos, ya que cada galaxia atrae hacia su propio centro. Para que el campo total sea nulo, sus módulos deben igualarse:

g_V = g_A

G \frac{M_V}{r_V^2} = G \frac{M_A}{r_A^2}

Donde $r_V$ es la distancia desde el punto a la Vía Láctea y $r_A$ la distancia a Andrómeda. Sustituyendo la relación de masas dada por el enunciado, $M_A = 1,5 M_V$ , y simplificando $G$ y $M_V$ :

\frac{1}{r_V^2} = \frac{1,5}{r_A^2} \implies \frac{r_A^2}{r_V^2} = 1,5

\frac{r_A}{r_V} = \sqrt{1,5} \approx 1,225

Esto demuestra que existe un punto donde el campo se anula, y se encuentra a una distancia de Andrómeda que es aproximadamente $1,225$ veces la distancia a la Vía Láctea.

a) ii) El potencial gravitatorio

V

es una magnitud escalar que, para una distribución de masas puntuales, se define como la suma de los potenciales creados por cada masa:

V = V_V + V_A = -G \frac{M_V}{r_V} - G \frac{M_A}{r_A}

Puesto que la constante $G$ , las masas $M$ y las distancias $r$ son magnitudes siempre positivas, los términos de potencial son siempre negativos. La suma de dos números negativos nunca puede ser igual a cero. Por tanto, el potencial gravitatorio no se anula en ningún punto entre ambas galaxias (solo tiende a cero a una distancia infinita de ambas).