T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio de varios cuerpos

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

A2-b

b) Recientemente la NASA envió la nave ORION-Artemis a las proximidades de la Luna. Sabiendo que la masa de la Tierra es

81

veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es

3,84 \cdot 10^{5} \text{ km}

: i) calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la nave es cero; ii) determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de

5000 \text{ kg}

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$

Fuerza gravitatoriaEnergía potencial

i) calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la nave es cero;

Para que la fuerza resultante sobre la nave sea cero, la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra ( $\vec{F}_T$ ) y la de la Luna ( $\vec{F}_L$ ) deben tener el mismo módulo y sentidos opuestos. Sea $d$ la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna ( $d = 3,84 \cdot 10^8 \text{ m}$ ), $x$ la distancia de la nave al centro de la Tierra, $M_T$ la masa terrestre, $M_L$ la masa lunar y $m$ la masa de la nave:

G \frac{M_T m}{x^2} = G \frac{M_L m}{(d - x)^2}

Sabiendo que $M_T = 81 M_L$ , simplificamos $G$ , $m$ y sustituimos las masas:

\frac{81 M_L}{x^2} = \frac{M_L}{(d - x)^2} \Rightarrow \frac{81}{x^2} = \frac{1}{(d - x)^2}

Tomando la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:

\frac{9}{x} = \frac{1}{d - x} \Rightarrow 9(d - x) = x \Rightarrow 9d = 10x \Rightarrow x = 0,9 d

Sustituyendo el valor de la distancia $d$ :

x = 0,9 \cdot 3,84 \cdot 10^8 \text{ m} = 3,456 \cdot 10^8 \text{ m}

El punto se encuentra a $3,456 \cdot 10^8 \text{ m}$ (o $345.600 \text{ km}$ ) del centro de la Tierra.

ii) determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de

5000 \text{ kg}

La energía potencial gravitatoria de la nave es la suma de las energías potenciales debidas a la Tierra y a la Luna:

E_p = E_{p,T} + E_{p,L} = -G \frac{M_T m}{x} - G \frac{M_L m}{d - x}

Utilizando las relaciones $x = 0,9d$ , $d - x = 0,1d$ y $M_L = M_T/81$ :

E_p = -G m \left( \frac{M_T}{0,9d} + \frac{M_T}{81 \cdot 0,1d} \right) = - \frac{G M_T m}{d} \left( \frac{1}{0,9} + \frac{1}{8,1} \right)

E_p = - \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 5000}{3,84 \cdot 10^8} \cdot \left( \frac{10}{9} + \frac{10}{81} \right)

E_p = -5,1936 \cdot 10^9 \cdot \frac{100}{81} \approx -6,41 \cdot 10^9 \text{ J}