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T1: Interacción gravitatoria
Cinemática y dinámica orbital
Problema
2023 · Ordinaria · Reserva
A1-b
Examen
b) El satélite español Paz, que se lanzó en febrero de 2018, tiene una masa de 1400 kg1400 \text{ kg} y se mantiene en una órbita circular a una velocidad de 7,6 km⋅s−17,6 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}. i) Determine razonadamente el radio de la órbita. ii) ¿Cuántas vueltas dará alrededor de la Tierra en 11 día? iii) Calcule la diferencia de energía potencial del satélite en su órbita con respecto a la que tendría en la superficie terrestre.

Datos: G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; RT=6370 kmR_T = 6370 \text{ km}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}

Energía potencialSatélite
TierraPazFgv
i) Para que el satélite mantenga una órbita circular, la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra debe actuar como la fuerza centrípeta necesaria para mantener dicho movimiento. Igualamos ambas expresiones para despejar el radio de la órbita rr:
Fg=Fc  ⟹  GMT⋅mr2=mv2rF_g = F_c \implies G \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Despejando rr y sustituyendo los valores en el Sistema Internacional (v=7,6 km/s=7600 m/sv = 7,6 \text{ km/s} = 7600 \text{ m/s}):

r=G⋅MTv2=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2⋅5,98⋅1024 kg(7600 m/s)2=6,906⋅106 mr = \frac{G \cdot M_T}{v^2} = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{(7600 \text{ m/s})^2} = 6,906 \cdot 10^6 \text{ m}
ii) Para calcular el número de vueltas en un día, primero determinamos el periodo orbital TT, que es el tiempo que tarda en completar una vuelta (2πr2\pi r):
T=2πrv=2π⋅6,906⋅106 m7600 m/s=5709,3 sT = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi \cdot 6,906 \cdot 10^6 \text{ m}}{7600 \text{ m/s}} = 5709,3 \text{ s}

El número de vueltas NN en un día (t=24⋅3600=86400 st = 24 \cdot 3600 = 86400 \text{ s}) es:

N=tT=86400 s5709,3 s/vuelta≈15,13 vueltasN = \frac{t}{T} = \frac{86400 \text{ s}}{5709,3 \text{ s/vuelta}} \approx 15,13 \text{ vueltas}
iii) La diferencia de energía potencial ΔEp\Delta E_p se define como el valor de la energía potencial en la órbita menos el valor en la superficie terrestre (RT=6370 km=6,37⋅106 mR_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}):
ΔEp=Ep,oˊrbita−Ep,superficie=−GMT⋅mr−(−GMT⋅mRT)\Delta E_p = E_{p, \text{órbita}} - E_{p, \text{superficie}} = -G \frac{M_T \cdot m}{r} - \left( -G \frac{M_T \cdot m}{R_T} \right)
ΔEp=G⋅MT⋅m(1RT−1r)\Delta E_p = G \cdot M_T \cdot m \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{r} \right)

Sustituyendo los valores numéricos:

ΔEp=6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅1400(16,37⋅106−16,906⋅106)=6,80⋅109 J\Delta E_p = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \cdot 1400 \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{1}{6,906 \cdot 10^6} \right) = 6,80 \cdot 10^9 \text{ J}